log(4)*((2*x-1)/(x+1))<-1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{2 x - 1}{x + 1} \log{\left(4 \right)} < - \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{2 x - 1}{x + 1} \log{\left(4 \right)} = - \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{2 x - 1}{x + 1} \log{\left(4 \right)} = - \frac{1}{2}$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x + 8 x \log{\left(2 \right)} - 4 \log{\left(2 \right)} + 1}{2 \left(x + 1\right)} = 0$$
denominador
$$x + 1$$
entonces

x no es igual a -1

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x \left(\frac{1}{2} + 4 \log{\left(2 \right)}\right) - 2 \log{\left(2 \right)} + \frac{1}{2} = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x \left(\frac{1}{2} + 4 \log{\left(2 \right)}\right) - 2 \log{\left(2 \right)} + \frac{1}{2} = 0$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

1/2 - 2*log2 + x1/2+4*log+2) = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x \left(\frac{1}{2} + 4 \log{\left(2 \right)}\right) - 2 \log{\left(2 \right)} = - \frac{1}{2}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-2*log(2) + x*(1/2 + 4*log(2)))/x

x = -1/2 / ((-2*log(2) + x*(1/2 + 4*log(2)))/x)

Obtenemos la respuesta: x1 = (-1 + log(16))/(1 + log(256))
pero

x no es igual a -1

$$x_{1} = \frac{-1 + \log{\left(16 \right)}}{1 + \log{\left(256 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{-1 + \log{\left(16 \right)}}{1 + \log{\left(256 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{-1 + \log{\left(16 \right)}}{1 + \log{\left(256 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{-1 + \log{\left(16 \right)}}{1 + \log{\left(256 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{-1 + \log{\left(16 \right)}}{1 + \log{\left(256 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{2 x - 1}{x + 1} \log{\left(4 \right)} < - \frac{1}{2}$$
$$\frac{-1 + 2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{-1 + \log{\left(16 \right)}}{1 + \log{\left(256 \right)}}\right)}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{-1 + \log{\left(16 \right)}}{1 + \log{\left(256 \right)}}\right) + 1} \log{\left(4 \right)} < - \frac{1}{2}$$

/  6   2*(-1 + log(16))\              
|- - + ----------------|*log(4)       
\  5     1 + log(256)  /              
------------------------------- < -1/2
       9    -1 + log(16)              
       -- + ------------              
       10   1 + log(256)              

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{-1 + \log{\left(16 \right)}}{1 + \log{\left(256 \right)}}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1