(x-7)*(logx+3(x+1))*(log3(x+3)^3)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 7\right) \left(3 \left(x + 1\right) + \log{\left(x \right)}\right) \left(\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)^{3} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 7\right) \left(3 \left(x + 1\right) + \log{\left(x \right)}\right) \left(\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)^{3} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = \frac{W\left(\frac{3}{e^{3}}\right)}{3}$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{3} = \frac{W\left(\frac{3}{e^{3}}\right)}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{3} = \frac{W\left(\frac{3}{e^{3}}\right)}{3}$$
$$x_{2} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 7\right) \left(3 \left(x + 1\right) + \log{\left(x \right)}\right) \left(\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)^{3} > 0$$
$$\left(-7 - \frac{21}{10}\right) \left(3 \left(- \frac{21}{10} + 1\right) + \log{\left(- \frac{21}{10} \right)}\right) \left(\frac{\log{\left(- \frac{21}{10} + 3 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)^{3} > 0$$

           /             /21\          \    
           |       91*log|--|          |    
   3       |3003         \10/   91*pi*I|    
log (9/10)*|---- - ---------- - -------|    
           \100        10          10  / > 0
----------------------------------------    
                   3                        
                log (3)                     
    

Entonces
$$x < -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -2 \wedge x < \frac{W\left(\frac{3}{e^{3}}\right)}{3}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x3      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > -2 \wedge x < \frac{W\left(\frac{3}{e^{3}}\right)}{3}$$
$$x > 7$$