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log(2*x)*log(3*x)/((2^(15*x^2+2)-2^11*x)*log(5*x-1)*log(7*x-1))>=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
               log(2*x)*log(3*x)                    
----------------------------------------------- >= 0
/     2             \                               
| 15*x  + 2         |                               
\2          - 2048*x/*log(5*x - 1)*log(7*x - 1)     
$$\frac{\log{\left(2 x \right)} \log{\left(3 x \right)}}{\left(2^{15 x^{2} + 2} - 2048 x\right) \log{\left(5 x - 1 \right)} \log{\left(7 x - 1 \right)}} \geq 0$$
(log(2*x)*log(3*x))/((((2^(15*x^2 + 2) - 2048*x)*log(5*x - 1))*log(7*x - 1))) >= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(2 x \right)} \log{\left(3 x \right)}}{\left(2^{15 x^{2} + 2} - 2048 x\right) \log{\left(5 x - 1 \right)} \log{\left(7 x - 1 \right)}} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(2 x \right)} \log{\left(3 x \right)}}{\left(2^{15 x^{2} + 2} - 2048 x\right) \log{\left(5 x - 1 \right)} \log{\left(7 x - 1 \right)}} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(2 x \right)} \log{\left(3 x \right)}}{\left(2^{15 x^{2} + 2} - 2048 x\right) \log{\left(5 x - 1 \right)} \log{\left(7 x - 1 \right)}} \geq 0$$
$$\frac{\log{\left(\frac{2 \cdot 7}{30} \right)} \log{\left(\frac{3 \cdot 7}{30} \right)}}{\left(- \frac{7 \cdot 2048}{30} + 2^{15 \left(\frac{7}{30}\right)^{2} + 2}\right) \log{\left(-1 + \frac{5 \cdot 7}{30} \right)} \log{\left(-1 + \frac{7 \cdot 7}{30} \right)}} \geq 0$$
     -log(7/10)*log(7/15)           
-------------------------------     
/            49\                    
|            --|                >= 0
|  7168      60|           /19\     
|- ---- + 4*2  |*log(6)*log|--|     
\   15         /           \30/     

pero
     -log(7/10)*log(7/15)          
-------------------------------    
/            49\                   
|            --|                < 0
|  7168      60|           /19\    
|- ---- + 4*2  |*log(6)*log|--|    
\   15         /           \30/    

Entonces
$$x \leq \frac{1}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{1}{3} \wedge x \leq \frac{1}{2}$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2