Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(2 x \right)} \log{\left(3 x \right)}}{\left(2^{15 x^{2} + 2} - 2048 x\right) \log{\left(5 x - 1 \right)} \log{\left(7 x - 1 \right)}} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(2 x \right)} \log{\left(3 x \right)}}{\left(2^{15 x^{2} + 2} - 2048 x\right) \log{\left(5 x - 1 \right)} \log{\left(7 x - 1 \right)}} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(2 x \right)} \log{\left(3 x \right)}}{\left(2^{15 x^{2} + 2} - 2048 x\right) \log{\left(5 x - 1 \right)} \log{\left(7 x - 1 \right)}} \geq 0$$
$$\frac{\log{\left(\frac{2 \cdot 7}{30} \right)} \log{\left(\frac{3 \cdot 7}{30} \right)}}{\left(- \frac{7 \cdot 2048}{30} + 2^{15 \left(\frac{7}{30}\right)^{2} + 2}\right) \log{\left(-1 + \frac{5 \cdot 7}{30} \right)} \log{\left(-1 + \frac{7 \cdot 7}{30} \right)}} \geq 0$$
-log(7/10)*log(7/15)
-------------------------------
/ 49\
| --| >= 0
| 7168 60| /19\
|- ---- + 4*2 |*log(6)*log|--|
\ 15 / \30/
pero
-log(7/10)*log(7/15)
-------------------------------
/ 49\
| --| < 0
| 7168 60| /19\
|- ---- + 4*2 |*log(6)*log|--|
\ 15 / \30/
Entonces
$$x \leq \frac{1}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{1}{3} \wedge x \leq \frac{1}{2}$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x1 x2