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cos(x/7)<=1/2
Resolver desigualdades/ cos(x/7)<=1/2

cos(x/7)<=1/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   /x\       
cos|-| <= 1/2
   \7/
cos⁡(x7)≤12\cos{\left(\frac{x}{7} \right)} \leq \frac{1}{2} 
cos(x/7) <= 1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
cos⁡(x7)≤12\cos{\left(\frac{x}{7} \right)} \leq \frac{1}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
cos⁡(x7)=12\cos{\left(\frac{x}{7} \right)} = \frac{1}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
cos⁡(x7)=12\cos{\left(\frac{x}{7} \right)} = \frac{1}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x7=πn+acos⁡(12)\frac{x}{7} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}
x7=πn−π+acos⁡(12)\frac{x}{7} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}
O
x7=πn+π3\frac{x}{7} = \pi n + \frac{\pi}{3}
x7=πn−2π3\frac{x}{7} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
17\frac{1}{7}
x1=7πn+7π3x_{1} = 7 \pi n + \frac{7 \pi}{3}
x2=7πn−14π3x_{2} = 7 \pi n - \frac{14 \pi}{3}
x1=7πn+7π3x_{1} = 7 \pi n + \frac{7 \pi}{3}
x2=7πn−14π3x_{2} = 7 \pi n - \frac{14 \pi}{3}
Las raíces dadas
x1=7πn+7π3x_{1} = 7 \pi n + \frac{7 \pi}{3}
x2=7πn−14π3x_{2} = 7 \pi n - \frac{14 \pi}{3}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(7πn+7π3)+−110\left(7 \pi n + \frac{7 \pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}
=
7πn−110+7π37 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{7 \pi}{3}
lo sustituimos en la expresión
cos⁡(x7)≤12\cos{\left(\frac{x}{7} \right)} \leq \frac{1}{2}
cos⁡(7πn−110+7π37)≤12\cos{\left(\frac{7 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{7 \pi}{3}}{7} \right)} \leq \frac{1}{2}
   /  1    pi       \       
cos|- -- + -- + pi*n| <= 1/2
   \  70   3        /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≤7πn+7π3x \leq 7 \pi n + \frac{7 \pi}{3}
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≤7πn+7π3x \leq 7 \pi n + \frac{7 \pi}{3}
x≥7πn−14π3x \geq 7 \pi n - \frac{14 \pi}{3}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-250-200-150-100-50501001502002503002-2
Respuesta rápida 2 [src] 
 7*pi  35*pi 
[----, -----]
  3      3
x in [7π3,35π3]x\ in\ \left[\frac{7 \pi}{3}, \frac{35 \pi}{3}\right] 
x in Interval(7*pi/3, 35*pi/3)
Respuesta rápida [src] 
   /7*pi            35*pi\
And|---- <= x, x <= -----|
   \ 3                3  /
7π3≤x∧x≤35π3\frac{7 \pi}{3} \leq x \wedge x \leq \frac{35 \pi}{3} 
(7*pi/3 <= x)∧(x <= 35*pi/3)
Gráfico
cos(x/7)<=1/2 desigualdades
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