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cos(x/2)>-1/2

cos(x/2)>-1/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
   /x\       
cos|-| > -1/2
   \2/       
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > - \frac{1}{2}$$
cos(x/2) > -1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > - \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
O
$$\frac{x}{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{4 \pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > - \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\frac{2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{4 \pi}{3}}{2} \right)} > - \frac{1}{2}$$
    /  1    pi       \       
-sin|- -- + -- + pi*n| > -1/2
    \  20   6        /       

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x > 2 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
    4*pi     8*pi       
[0, ----) U (----, 4*pi]
     3        3         
$$x\ in\ \left[0, \frac{4 \pi}{3}\right) \cup \left(\frac{8 \pi}{3}, 4 \pi\right]$$
x in Union(Interval.Ropen(0, 4*pi/3), Interval.Lopen(8*pi/3, 4*pi))
Respuesta rápida [src]
  /   /            4*pi\     /           8*pi    \\
Or|And|0 <= x, x < ----|, And|x <= 4*pi, ---- < x||
  \   \             3  /     \            3      //
$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{4 \pi}{3}\right) \vee \left(x \leq 4 \pi \wedge \frac{8 \pi}{3} < x\right)$$
((0 <= x)∧(x < 4*pi/3))∨((x <= 4*pi)∧(8*pi/3 < x))
Gráfico
cos(x/2)>-1/2 desigualdades