|x-8|+sqrt(5x+1)<=7 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{5 x + 1} + \left|{x - 8}\right| \leq 7$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{5 x + 1} + \left|{x - 8}\right| = 7$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 8 \geq 0$$
o
$$8 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 8\right) + \sqrt{5 x + 1} - 7 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x + \sqrt{5 x + 1} - 15 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{35}{2} - \frac{\sqrt{329}}{2}$$

2.
$$x - 8 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 8$$
obtenemos la ecuación
$$\left(8 - x\right) + \sqrt{5 x + 1} - 7 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x + \sqrt{5 x + 1} + 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 7$$


$$x_{1} = \frac{35}{2} - \frac{\sqrt{329}}{2}$$
$$x_{2} = 7$$
$$x_{1} = \frac{35}{2} - \frac{\sqrt{329}}{2}$$
$$x_{2} = 7$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 7$$
$$x_{1} = \frac{35}{2} - \frac{\sqrt{329}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 7$$
=
$$\frac{69}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{5 x + 1} + \left|{x - 8}\right| \leq 7$$
$$\left|{-8 + \frac{69}{10}}\right| + \sqrt{1 + \frac{5 \cdot 69}{10}} \leq 7$$

       _____     
11   \/ 142      
-- + ------- <= 7
10      2        
     

pero

       _____     
11   \/ 142      
-- + ------- >= 7
10      2        
     

Entonces
$$x \leq 7$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 7 \wedge x \leq \frac{35}{2} - \frac{\sqrt{329}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1