tg(2x)>=-sqrt(3) desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\tan{\left(2 x \right)} \geq - \sqrt{3}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\tan{\left(2 x \right)} = - \sqrt{3}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(2 x \right)} = - \sqrt{3}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} \right)}$$
O
$$2 x = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\tan{\left(2 x \right)} \geq - \sqrt{3}$$
$$\tan{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}\right) \right)} \geq - \sqrt{3}$$

    /1   pi       \       ___
-tan|- + -- - pi*n| >= -\/ 3 
    \5   3        /    

pero

    /1   pi       \      ___
-tan|- + -- - pi*n| < -\/ 3 
    \5   3        /   

Entonces
$$x \leq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{6}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1