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Resolver desigualdades/ log2*x(x+4)*logx(2-x)<=0

log2*x(x+4)*logx(2-x)<=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
log(2*x)*(x + 4)*log(x)*(2 - x) <= 0
(x+4)log⁡(2x)log⁡(x)(2−x)≤0\left(x + 4\right) \log{\left(2 x \right)} \log{\left(x \right)} \left(2 - x\right) \leq 0 
(((x + 4)*log(2*x))*log(x))*(2 - x) <= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
(x+4)log⁡(2x)log⁡(x)(2−x)≤0\left(x + 4\right) \log{\left(2 x \right)} \log{\left(x \right)} \left(2 - x\right) \leq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
(x+4)log⁡(2x)log⁡(x)(2−x)=0\left(x + 4\right) \log{\left(2 x \right)} \log{\left(x \right)} \left(2 - x\right) = 0
Resolvemos:
x1=−4x_{1} = -4
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
x3=1x_{3} = 1
x4=2x_{4} = 2
x1=−4x_{1} = -4
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
x3=1x_{3} = 1
x4=2x_{4} = 2
Las raíces dadas
x1=−4x_{1} = -4
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
x3=1x_{3} = 1
x4=2x_{4} = 2
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−4+−110-4 + - \frac{1}{10}
=
−4110- \frac{41}{10}
lo sustituimos en la expresión
(x+4)log⁡(2x)log⁡(x)(2−x)≤0\left(x + 4\right) \log{\left(2 x \right)} \log{\left(x \right)} \left(2 - x\right) \leq 0
(−4110+4)log⁡((−41)210)log⁡(−4110)(2−−4110)≤0\left(- \frac{41}{10} + 4\right) \log{\left(\frac{\left(-41\right) 2}{10} \right)} \log{\left(- \frac{41}{10} \right)} \left(2 - - \frac{41}{10}\right) \leq 0
   /  log(41/5)   pi*I\ /          /41\\     
61*|- --------- - ----|*|pi*I + log|--||     
   \      10       10 / \          \10// <= 0
----------------------------------------     
                   10

Entonces
x≤−4x \leq -4
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥−4∧x≤12x \geq -4 \wedge x \leq \frac{1}{2}
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≥−4∧x≤12x \geq -4 \wedge x \leq \frac{1}{2}
x≥1∧x≤2x \geq 1 \wedge x \leq 2
Solución de la desigualdad en el gráfico
-5.0-4.0-3.0-2.0-1.05.00.01.02.03.04.0-5001000
Respuesta rápida 2 [src] 
[1/2, 1] U [2, oo)
x in [12,1]∪[2,∞)x\ in\ \left[\frac{1}{2}, 1\right] \cup \left[2, \infty\right) 
x in Union(Interval(1/2, 1), Interval(2, oo))
Respuesta rápida [src] 
Or(And(1/2 <= x, x <= 1), 2 <= x)
(12≤x∧x≤1)∨2≤x\left(\frac{1}{2} \leq x \wedge x \leq 1\right) \vee 2 \leq x 
(2 <= x)∨((1/2 <= x)∧(x <= 1))
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