(sinx-cosx)(sinx-3cosx)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{10}}{3} \right)}$$
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{10}}{3} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{10}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \geq 0$$
$$\left(\sin{\left(- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} - 3 \cos{\left(- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10} \right)}\right) \left(\sin{\left(- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} - \cos{\left(- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10} \right)}\right) \geq 0$$

/     /1    pi\        /1    pi\\ /     /1    pi\      /1    pi\\     
|- cos|-- + --| + 3*sin|-- + --||*|- cos|-- + --| + sin|-- + --|| >= 0
\     \10   4 /        \10   4 // \     \10   4 /      \10   4 //     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{3 \pi}{4}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x4      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x \geq - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{10}}{3} \right)} \wedge x \leq \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3} \right)}$$