Sr Examen

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cosx>sqrt(2)/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
           ___
         \/ 2 
cos(x) > -----
           2  
$$\cos{\left(x \right)} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
cos(x) > sqrt(2)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(x \right)} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
O
$$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(x \right)} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
                          ___
   /  1    pi       \   \/ 2 
cos|- -- + -- + pi*n| > -----
   \  10   4        /     2  
                        

Entonces
$$x < \pi n + \frac{\pi}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \pi n + \frac{\pi}{4} \wedge x < \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
    pi     7*pi       
[0, --) U (----, 2*pi]
    4       4         
$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right]$$
x in Union(Interval.Ropen(0, pi/4), Interval.Lopen(7*pi/4, 2*pi))
Respuesta rápida [src]
  /   /            pi\     /           7*pi    \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|x <= 2*pi, ---- < x||
  \   \            4 /     \            4      //
$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(x \leq 2 \pi \wedge \frac{7 \pi}{4} < x\right)$$
((0 <= x)∧(x < pi/4))∨((x <= 2*pi)∧(7*pi/4 < x))