Sr Examen

cosx=>0,5 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
cos(x) >= 1/2
$$\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
cos(x) >= 1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
O
$$x = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right)} \geq \frac{1}{2}$$
   /  1    pi       \       
cos|- -- + -- + pi*n| >= 1/2
   \  10   3        /       

pero
   /  1    pi       \      
cos|- -- + -- + pi*n| < 1/2
   \  10   3        /      

Entonces
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \pi n + \frac{\pi}{3} \wedge x \leq \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
    pi     5*pi       
[0, --] U [----, 2*pi]
    3       3         
$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, 2 \pi\right]$$
x in Union(Interval(0, pi/3), Interval(5*pi/3, 2*pi))
Respuesta rápida [src]
  /   /             pi\     /5*pi                \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x <= 2*pi||
  \   \             3 /     \ 3                  //
$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{3}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{3} \leq x \wedge x \leq 2 \pi\right)$$
((0 <= x)∧(x <= pi/3))∨((5*pi/3 <= x)∧(x <= 2*pi))