Sr Examen

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sinx>=sqrt(2)/2 desigualdades

Ha introducido [src]

            ___
          \/ 2 
sin(x) >= -----
            2

\sin{\left(x \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}

sin(x) >= sqrt(2)/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\sin{\left(x \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\sin{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\sin{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}

x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi

x = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}

x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}

, donde n es cualquier número entero

x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}

x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}

x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}

x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}

Las raíces dadas

x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}

x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} \leq x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

\left(2 \pi n + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}

2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}

lo sustituimos en la expresión

\sin{\left(x \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}

\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}

                             ___
   /  1    pi         \    \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| >= -----
   \  10   4          /      2

pero

                            ___
   /  1    pi         \   \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < -----
   \  10   4          /     2

Entonces

x \leq 2 \pi n + \frac{\pi}{4}

no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x \geq 2 \pi n + \frac{\pi}{4} \wedge x \leq 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

   /pi            3*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \4              4  /

\frac{\pi}{4} \leq x \wedge x \leq \frac{3 \pi}{4}

(pi/4 <= x)∧(x <= 3*pi/4)

Respuesta rápida 2 [src]

 pi  3*pi 
[--, ----]
 4    4

x\ in\ \left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]

x in Interval(pi/4, 3*pi/4)

Gráfico