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sin(x/3)<1/2
Resolver desigualdades/ sin(x/3)<1/2

sin(x/3)<1/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   /x\      
sin|-| < 1/2
   \3/
sin⁡(x3)<12\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} < \frac{1}{2} 
sin(x/3) < 1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x3)<12\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} < \frac{1}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x3)=12\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{1}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡(x3)=12\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{1}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x3=2πn+asin⁡(12)\frac{x}{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}
x3=2πn−asin⁡(12)+π\frac{x}{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi
O
x3=2πn+π6\frac{x}{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}
x3=2πn+5π6\frac{x}{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
13\frac{1}{3}
x1=6πn+π2x_{1} = 6 \pi n + \frac{\pi}{2}
x2=6πn+5π2x_{2} = 6 \pi n + \frac{5 \pi}{2}
x1=6πn+π2x_{1} = 6 \pi n + \frac{\pi}{2}
x2=6πn+5π2x_{2} = 6 \pi n + \frac{5 \pi}{2}
Las raíces dadas
x1=6πn+π2x_{1} = 6 \pi n + \frac{\pi}{2}
x2=6πn+5π2x_{2} = 6 \pi n + \frac{5 \pi}{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(6πn+π2)+−110\left(6 \pi n + \frac{\pi}{2}\right) + - \frac{1}{10}
=
6πn−110+π26 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x3)<12\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} < \frac{1}{2}
sin⁡(6πn−110+π23)<12\sin{\left(\frac{6 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}}{3} \right)} < \frac{1}{2}
   /  1    pi         \      
sin|- -- + -- + 2*pi*n| < 1/2
   \  30   6          /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x<6πn+π2x < 6 \pi n + \frac{\pi}{2}
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x<6πn+π2x < 6 \pi n + \frac{\pi}{2}
x>6πn+5π2x > 6 \pi n + \frac{5 \pi}{2}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0123456-5-4-3-2-12-2
Respuesta rápida [src] 
  /   /            pi\     /           5*pi    \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|x <= 6*pi, ---- < x||
  \   \            2 /     \            2      //
(0≤x∧x<π2)∨(x≤6π∧5π2<x)\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(x \leq 6 \pi \wedge \frac{5 \pi}{2} < x\right) 
((0 <= x)∧(x < pi/2))∨((x <= 6*pi)∧(5*pi/2 < x))
Respuesta rápida 2 [src] 
    pi     5*pi       
[0, --) U (----, 6*pi]
    2       2
x in [0,π2)∪(5π2,6π]x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{2}, 6 \pi\right] 
x in Union(Interval.Ropen(0, pi/2), Interval.Lopen(5*pi/2, 6*pi))
Gráfico
sin(x/3)<1/2 desigualdades
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