Sr Examen

cos(x\2)<=-0,5 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
   /x\        
cos|-| <= -1/2
   \2/        
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \leq - \frac{1}{2}$$
cos(x/2) <= -1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \leq - \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
O
$$\frac{x}{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{4 \pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \leq - \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\frac{2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{4 \pi}{3}}{2} \right)} \leq - \frac{1}{2}$$
    /  1    pi       \        
-sin|- -- + -- + pi*n| <= -1/2
    \  20   6        /        

pero
    /  1    pi       \        
-sin|- -- + -- + pi*n| >= -1/2
    \  20   6        /        

Entonces
$$x \leq 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3} \wedge x \leq 2 \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
   /4*pi            8*pi\
And|---- <= x, x <= ----|
   \ 3               3  /
$$\frac{4 \pi}{3} \leq x \wedge x \leq \frac{8 \pi}{3}$$
(4*pi/3 <= x)∧(x <= 8*pi/3)
Respuesta rápida 2 [src]
 4*pi  8*pi 
[----, ----]
  3     3   
$$x\ in\ \left[\frac{4 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}\right]$$
x in Interval(4*pi/3, 8*pi/3)