Se da la desigualdad:
$$\left(2 x - 1\right) \log{\left(5 \right)} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 x - 1\right) \log{\left(5 \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
log(5)*(2*x-1) = 1
Abrimos la expresión:
-log(5) + 2*x*log(5) = 1
Reducimos, obtenemos:
-1 - log(5) + 2*x*log(5) = 0
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
-1 - log5 + 2*x*log5 = 0
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x \log{\left(5 \right)} - \log{\left(5 \right)} = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-log(5) + 2*x*log(5))/x
x = 1 / ((-log(5) + 2*x*log(5))/x)
Obtenemos la respuesta: x = (1 + log(5))/(2*log(5))
$$x_{1} = \frac{1 + \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1 + \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1 + \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1 + \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1 + \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 x - 1\right) \log{\left(5 \right)} < 1$$
$$\left(-1 + 2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{1 + \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}\right)\right) \log{\left(5 \right)} < 1$$
/ 6 1 + log(5)\
|- - + ----------|*log(5) < 1
\ 5 log(5) /
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{1 + \log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$$
_____
\
-------ο-------
x1