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sqrt(3/2)cos(x)+1/2sin(x)≤sqrt(2/2)
Resolver desigualdades/ sqrt(3/2)cos(x)+1/2sin(x)≤sqrt(2/2)

sqrt(3/2)cos(x)+1/2sin(x)≤sqrt(2/2) desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
  _____          sin(x)      ___
\/ 3/2 *cos(x) + ------ <= \/ 1 
                   2
sin⁡(x)2+32cos⁡(x)≤1\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}} \cos{\left(x \right)} \leq \sqrt{1} 
sin(x)/2 + sqrt(3/2)*cos(x) <= sqrt(1)
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x)2+32cos⁡(x)≤1\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}} \cos{\left(x \right)} \leq \sqrt{1}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x)2+32cos⁡(x)=1\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}} \cos{\left(x \right)} = \sqrt{1}
Resolvemos:
x1=2atan⁡(−3−1+62+322)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - 1 + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}
x2=−2atan⁡(−3−62+1+322)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2} + 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}
x1=2atan⁡(−3−1+62+322)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - 1 + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}
x2=−2atan⁡(−3−62+1+322)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2} + 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}
Las raíces dadas
x2=−2atan⁡(−3−62+1+322)x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2} + 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}
x1=2atan⁡(−3−1+62+322)x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - 1 + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x2x_{0} \leq x_{2}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x2−110x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}
=
−2atan⁡(−3−62+1+322)−110- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2} + 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)} - \frac{1}{10}
=
−2atan⁡(−3−62+1+322)−110- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2} + 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x)2+32cos⁡(x)≤1\frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}} \cos{\left(x \right)} \leq \sqrt{1}
sin⁡(−2atan⁡(−3−62+1+322)−110)2+32cos⁡(−2atan⁡(−3−62+1+322)−110)≤1\frac{\sin{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2} + 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)}}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}} \cos{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2} + 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)} - \frac{1}{10} \right)} \leq \sqrt{1}
     /           /              ___       ___\\            /           /              ___       ___\\     
     |1          |      ___   \/ 6    3*\/ 2 ||     ___    |1          |      ___   \/ 6    3*\/ 2 ||     
  sin|-- + 2*atan|1 - \/ 3  - ----- + -------||   \/ 6 *cos|-- + 2*atan|1 - \/ 3  - ----- + -------||     
     \10         \              2        2   //            \10         \              2        2   // <= 1
- --------------------------------------------- + ---------------------------------------------------     
                        2                                                  2

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≤−2atan⁡(−3−62+1+322)x \leq - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2} + 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≤−2atan⁡(−3−62+1+322)x \leq - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2} + 1 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}
x≥2atan⁡(−3−1+62+322)x \geq 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} - 1 + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}
Solución de la desigualdad en el gráfico
-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.02.5-2.5
Respuesta rápida 2 [src] 
      /          ___  \             /          ___  \ 
      |  2 + 3*\/ 2   |             |  2 - 3*\/ 2   | 
[-atan|---------------|, 2*pi + atan|---------------|]
      |  ___       ___|             |  ___       ___| 
      \\/ 3  - 2*\/ 6 /             \\/ 3  + 2*\/ 6 /
x in [−atan⁡(2+32−26+3),atan⁡(2−323+26)+2π]x\ in\ \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 3 \sqrt{2}}{- 2 \sqrt{6} + \sqrt{3}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{6}} \right)} + 2 \pi\right] 
x in Interval(-atan((2 + 3*sqrt(2))/(-2*sqrt(6) + sqrt(3))), atan((2 - 3*sqrt(2))/(sqrt(3) + 2*sqrt(6))) + 2*pi)
Respuesta rápida [src] 
   /                /          ___  \       /          ___  \     \
   |                |  2 - 3*\/ 2   |       |  2 + 3*\/ 2   |     |
And|x <= 2*pi + atan|---------------|, -atan|---------------| <= x|
   |                |  ___       ___|       |  ___       ___|     |
   \                \\/ 3  + 2*\/ 6 /       \\/ 3  - 2*\/ 6 /     /
x≤atan⁡(2−323+26)+2π∧−atan⁡(2+32−26+3)≤xx \leq \operatorname{atan}{\left(\frac{2 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{6}} \right)} + 2 \pi \wedge - \operatorname{atan}{\left(\frac{2 + 3 \sqrt{2}}{- 2 \sqrt{6} + \sqrt{3}} \right)} \leq x 
(-atan((2 + 3*sqrt(2))/(sqrt(3) - 2*sqrt(6))) <= x)∧(x <= 2*pi + atan((2 - 3*sqrt(2))/(sqrt(3) + 2*sqrt(6))))
Gráfico
sqrt(3/2)cos(x)+1/2sin(x)≤sqrt(2/2) desigualdades
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