log(1/5)^2(x^2+2*x+1)-31log(1/5)((x+1)/5)+15<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- \frac{x + 1}{5} \cdot 31 \log{\left(\frac{1}{5} \right)} + \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right) \log{\left(\frac{1}{5} \right)}^{2}\right) + 15 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- \frac{x + 1}{5} \cdot 31 \log{\left(\frac{1}{5} \right)} + \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right) \log{\left(\frac{1}{5} \right)}^{2}\right) + 15 = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(- \frac{x + 1}{5} \cdot 31 \log{\left(\frac{1}{5} \right)} + \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right) \log{\left(\frac{1}{5} \right)}^{2}\right) + 15 = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} \log{\left(5 \right)}^{2} + 2 x \log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 x \log{\left(5 \right)}}{5} + \log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5} + 15 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \log{\left(5 \right)}^{2}$$
$$b = 2 \log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5}$$
$$c = \log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5} + 15$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2*log(5)^2 + 31*log(5)/5)^2 - 4 * (log(5)^2) * (15 + log(5)^2 + 31*log(5)/5) = (2*log(5)^2 + 31*log(5)/5)^2 - 4*log(5)^2*(15 + log(5)^2 + 31*log(5)/5)

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{- \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5} - 2 \log{\left(5 \right)}^{2} + \sqrt{- 4 \left(\log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5} + 15\right) \log{\left(5 \right)}^{2} + \left(2 \log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5}\right)^{2}}}{2 \log{\left(5 \right)}^{2}}$$
$$x_{2} = \frac{- \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5} - 2 \log{\left(5 \right)}^{2} - \sqrt{- 4 \left(\log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5} + 15\right) \log{\left(5 \right)}^{2} + \left(2 \log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5}\right)^{2}}}{2 \log{\left(5 \right)}^{2}}$$
$$x_{1} = \frac{- \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5} - 2 \log{\left(5 \right)}^{2} + \sqrt{- 4 \left(\log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5} + 15\right) \log{\left(5 \right)}^{2} + \left(2 \log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5}\right)^{2}}}{2 \log{\left(5 \right)}^{2}}$$
$$x_{2} = \frac{- \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5} - 2 \log{\left(5 \right)}^{2} - \sqrt{- 4 \left(\log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5} + 15\right) \log{\left(5 \right)}^{2} + \left(2 \log{\left(5 \right)}^{2} + \frac{31 \log{\left(5 \right)}}{5}\right)^{2}}}{2 \log{\left(5 \right)}^{2}}$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$\left(\left(\left(0^{2} + 0 \cdot 2\right) + 1\right) \log{\left(\frac{1}{5} \right)}^{2} - \frac{31 \log{\left(\frac{1}{5} \right)}}{5}\right) + 15 < 0$$

        2      31*log(5)    
15 + log (5) + --------- < 0
                   5        

pero

        2      31*log(5)    
15 + log (5) + --------- > 0
                   5        

signo desigualdades no tiene soluciones