Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
x^2-4x+3<0
-
x^2-3x+2<0
-
-x^2+x+6>0
-
-x^2-x+12>0
- Derivada de:
-
sint
-
1/3
- Integral de d{x}:
- sint
- 1/3
- Límite de la función:
-
1/3
-
Expresiones idénticas
- sint< uno / tres
- seno de t menos 1 dividir por 3
- seno de t menos uno dividir por tres
- sint<1 dividir por 3
-
Expresiones semejantes
- 1/(x-2)+1/(3-x)<=5
-
Expresiones con funciones
- sint
- sint<1/2
- sint>1/2
- sint<0,4
- sint>1/3
- sint>-1/2
sint<1/3 desigualdades
Solución
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(t \right)} < \frac{1}{3}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(t \right)} = \frac{1}{3}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(t \right)} = \frac{1}{3}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$t = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
O
$$t = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
$$t_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$t_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
Las raíces dadas
$$t_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$t_{0} < t_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$t_{0} = t_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(t \right)} < \frac{1}{3}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} \right)} < \frac{1}{3}$$
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$t < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$t < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t > 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$\sin{\left(t \right)} < \frac{1}{3}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(t \right)} = \frac{1}{3}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(t \right)} = \frac{1}{3}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$t = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
O
$$t = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
$$t_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
$$t_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
Las raíces dadas
$$t_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$t_{0} < t_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$t_{0} = t_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(t \right)} < \frac{1}{3}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} \right)} < \frac{1}{3}$$
sin(-1/10 + 2*pi*n + asin(1/3)) < 1/3
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$t < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
t1 t2Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$t < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$t > 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \pi$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / / ___\\ / / ___\ \\ | | |\/ 2 || | |\/ 2 | || Or|And|0 <= t, t < atan|-----||, And|t <= 2*pi, pi - atan|-----| < t|| \ \ \ 4 // \ \ 4 / //
$$\left(0 \leq t \wedge t < \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}\right) \vee \left(t \leq 2 \pi \wedge \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)} < t\right)$$
((0 <= t)∧(t < atan(sqrt(2)/4)))∨((t <= 2*pi)∧(pi - atan(sqrt(2)/4) < t))
Respuesta rápida 2
[src]
/ ___\ / ___\
|\/ 2 | |\/ 2 |
[0, atan|-----|) U (pi - atan|-----|, 2*pi]
\ 4 / \ 4 /
$$t\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}\right) \cup \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{4} \right)}, 2 \pi\right]$$
t in Union(Interval.Ropen(0, atan(sqrt(2)/4)), Interval.Lopen(pi - atan(sqrt(2)/4), 2*pi))
Gráfico