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Resolución de integrales/ (2x-1)/ dx/((2x-1)^1/2-(2x-1)^1/4)

Integral de dx/((2x-1)^1/2-(2x-1)^1/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                             
  /                             
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 |              1               
 |  ------------------------- dx
 |    _________   4 _________   
 |  \/ 2*x - 1  - \/ 2*x - 1    
 |                              
/                               
0
∫011−2x−14+2x−1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{- \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1}}\, dx 
Integral(1/(sqrt(2*x - 1) - (2*x - 1)^(1/4)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2x−1u = \sqrt{2 x - 1}.

      Luego que du=dx2x−1du = \frac{dx}{\sqrt{2 x - 1}} y ponemos dudu:

      ∫u−u+u du\int \frac{u}{- \sqrt{u} + u}\, du

      1. que u=uu = \sqrt{u}.

        Luego que du=du2udu = \frac{du}{2 \sqrt{u}} y ponemos 2du2 du:

        ∫2u2u−1 du\int \frac{2 u^{2}}{u - 1}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2u−1 du=2∫u2u−1 du\int \frac{u^{2}}{u - 1}\, du = 2 \int \frac{u^{2}}{u - 1}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u−1=u+1+1u−1\frac{u^{2}}{u - 1} = u + 1 + \frac{1}{u - 1}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. que u=u−1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

            El resultado es: u22+u+log⁡(u−1)\frac{u^{2}}{2} + u + \log{\left(u - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: u2+2u+2log⁡(u−1)u^{2} + 2 u + 2 \log{\left(u - 1 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2u+u+2log⁡(u−1)2 \sqrt{u} + u + 2 \log{\left(\sqrt{u} - 1 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      22x−14+2x−1+2log⁡(2x−14−1)2 \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} + 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−2x−14+2x−1=−12x−14−2x−1\frac{1}{- \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1}} = - \frac{1}{\sqrt[4]{2 x - 1} - \sqrt{2 x - 1}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−12x−14−2x−1) dx=−∫12x−14−2x−1 dx\int \left(- \frac{1}{\sqrt[4]{2 x - 1} - \sqrt{2 x - 1}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt[4]{2 x - 1} - \sqrt{2 x - 1}}\, dx

      1. que u=2x−14u = \sqrt[4]{2 x - 1}.

        Luego que du=dx2(2x−1)34du = \frac{dx}{2 \left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{4}}} y ponemos −2du- 2 du:

        ∫(−2u2u−1) du\int \left(- \frac{2 u^{2}}{u - 1}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2u−1 du=−2∫u2u−1 du\int \frac{u^{2}}{u - 1}\, du = - 2 \int \frac{u^{2}}{u - 1}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2u−1=u+1+1u−1\frac{u^{2}}{u - 1} = u + 1 + \frac{1}{u - 1}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. que u=u−1u = u - 1.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−1)\log{\left(u - 1 \right)}

            El resultado es: u22+u+log⁡(u−1)\frac{u^{2}}{2} + u + \log{\left(u - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2−2u−2log⁡(u−1)- u^{2} - 2 u - 2 \log{\left(u - 1 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −22x−14−2x−1−2log⁡(2x−14−1)- 2 \sqrt[4]{2 x - 1} - \sqrt{2 x - 1} - 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 22x−14+2x−1+2log⁡(2x−14−1)2 \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} + 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    22x−14+2x−1+2log⁡(2x−14−1)2 \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} + 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    22x−14+2x−1+2log⁡(2x−14−1)+constant2 \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} + 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

22x−14+2x−1+2log⁡(2x−14−1)+constant2 \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} + 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                        
 |                                                                                         
 |             1                        _________     4 _________        /     4 _________\
 | ------------------------- dx = C + \/ 2*x - 1  + 2*\/ 2*x - 1  + 2*log\-1 + \/ 2*x - 1 /
 |   _________   4 _________                                                               
 | \/ 2*x - 1  - \/ 2*x - 1                                                                
 |                                                                                         
/
∫1−2x−14+2x−1 dx=C+22x−14+2x−1+2log⁡(2x−14−1)\int \frac{1}{- \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1}}\, dx = C + 2 \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} + 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
1.000.500.550.600.650.700.750.800.850.900.95-2500025000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
            4 ____        /     4 ____\
-oo - I - 2*\/ -1  - 2*log\-1 + \/ -1 /
−∞−2log⁡(−1+−14)−2−14−i-\infty - 2 \log{\left(-1 + \sqrt[4]{-1} \right)} - 2 \sqrt[4]{-1} - i 
=
= 
            4 ____        /     4 ____\
-oo - I - 2*\/ -1  - 2*log\-1 + \/ -1 /
−∞−2log⁡(−1+−14)−2−14−i-\infty - 2 \log{\left(-1 + \sqrt[4]{-1} \right)} - 2 \sqrt[4]{-1} - i 
-oo - i - 2*(-1)^(1/4) - 2*log(-1 + (-1)^(1/4))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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