Integral de dx/((2x-1)^1/2-(2x-1)^1/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{2 x - 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x - 1}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{- \sqrt{u} + u}\, du$

      1. que $u = \sqrt{u}$.

         Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 u^{2}}{u - 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{u - 1}\, du = 2 \int \frac{u^{2}}{u - 1}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{2}}{u - 1} = u + 1 + \frac{1}{u - 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. que $u = u - 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u - 1 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + u + \log{\left(u - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2} + 2 u + 2 \log{\left(u - 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{u} + u + 2 \log{\left(\sqrt{u} - 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} + 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1}} = - \frac{1}{\sqrt[4]{2 x - 1} - \sqrt{2 x - 1}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\sqrt[4]{2 x - 1} - \sqrt{2 x - 1}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt[4]{2 x - 1} - \sqrt{2 x - 1}}\, dx$

      1. que $u = \sqrt[4]{2 x - 1}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2 u^{2}}{u - 1}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{u - 1}\, du = - 2 \int \frac{u^{2}}{u - 1}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{2}}{u - 1} = u + 1 + \frac{1}{u - 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. que $u = u - 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u - 1 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + u + \log{\left(u - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} - 2 u - 2 \log{\left(u - 1 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 \sqrt[4]{2 x - 1} - \sqrt{2 x - 1} - 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} + 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} + 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} + 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt[4]{2 x - 1} + \sqrt{2 x - 1} + 2 \log{\left(\sqrt[4]{2 x - 1} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$