Integral de (lnx/x)+(1/x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

      Método #2

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = - \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

   1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

   El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(x \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$