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Resolución de integrales/ x^2-1/ lnx/sqrt(x^2-1)

Integral de lnx/sqrt(x^2-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo               
  /               
 |                
 |     log(x)     
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /  2        
 |  \/  x  - 1    
 |                
/                 
3
∫3∞log⁡(x)x2−1 dx\int\limits_{3}^{\infty} \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx 
Integral(log(x)/sqrt(x^2 - 1), (x, 3, oo))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1x2−1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}.

    Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      InverseHyperbolicRule(func=acosh, context=1/sqrt(x**2 - 1), symbol=x)

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

    Pero la integral

    ∫acosh⁡(x)x dx\int \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{x}\, dx

  3. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(x)acosh⁡(x)−∫acosh⁡(x)x dx+constant\log{\left(x \right)} \operatorname{acosh}{\left(x \right)} - \int \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{x}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(x)acosh⁡(x)−∫acosh⁡(x)x dx+constant\log{\left(x \right)} \operatorname{acosh}{\left(x \right)} - \int \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{x}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                       /                             
 |                       |                              
 |    log(x)             | acosh(x)                     
 | ----------- dx = C -  | -------- dx + acosh(x)*log(x)
 |    ________           |    x                         
 |   /  2                |                              
 | \/  x  - 1           /                               
 |                                                      
/
∫log⁡(x)x2−1 dx=C+log⁡(x)acosh⁡(x)−∫acosh⁡(x)x dx\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = C + \log{\left(x \right)} \operatorname{acosh}{\left(x \right)} - \int \frac{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}{x}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
 oo                        
  /                        
 |                         
 |         log(x)          
 |  -------------------- dx
 |    __________________   
 |  \/ (1 + x)*(-1 + x)    
 |                         
/                          
3
∫3∞log⁡(x)(x−1)(x+1) dx\int\limits_{3}^{\infty} \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}}\, dx 
=
= 
 oo                        
  /                        
 |                         
 |         log(x)          
 |  -------------------- dx
 |    __________________   
 |  \/ (1 + x)*(-1 + x)    
 |                         
/                          
3
∫3∞log⁡(x)(x−1)(x+1) dx\int\limits_{3}^{\infty} \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}}\, dx 
Integral(log(x)/sqrt((1 + x)*(-1 + x)), (x, 3, oo))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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