Integral de (x-3)/x^(3/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{3}{4}}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{4 \sqrt[4]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{4 u^{\frac{4}{3}} - 12}{3 u^{\frac{2}{3}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 u^{\frac{4}{3}} - 12}{u^{\frac{2}{3}}}\, du = \frac{\int \frac{4 u^{\frac{4}{3}} - 12}{u^{\frac{2}{3}}}\, du}{3}$

         1. que $u = \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}$.

            Luego que $du = - \frac{2 du}{3 u^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{18 u^{2} - 6}{u^{\frac{7}{2}}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{18 u^{2} - 6}{u^{\frac{7}{2}}} = \frac{18}{u^{\frac{3}{2}}} - \frac{6}{u^{\frac{7}{2}}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{18}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = 18 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{36}{\sqrt{u}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{6}{u^{\frac{7}{2}}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{\frac{7}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{7}{2}}}\, du = - \frac{2}{5 u^{\frac{5}{2}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{5 u^{\frac{5}{2}}}$

               El resultado es: $- \frac{36}{\sqrt{u}} + \frac{12}{5 u^{\frac{5}{2}}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{12 u^{\frac{5}{3}}}{5} - 36 \sqrt[3]{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{\frac{5}{3}}}{5} - 12 \sqrt[3]{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} - 12 \sqrt[4]{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x - 3}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{x}{x^{\frac{3}{4}}} - \frac{3}{x^{\frac{3}{4}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$.

         Luego que $du = - \frac{3 dx}{4 x^{\frac{7}{4}}}$ y ponemos $- \frac{4 du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{4}{3 u^{\frac{8}{3}}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}\, du = - \frac{4 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}\, du = - \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{5 u^{\frac{5}{3}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3}{x^{\frac{3}{4}}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}\, dx = 4 \sqrt[4]{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 12 \sqrt[4]{x}$

      El resultado es: $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} - 12 \sqrt[4]{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \sqrt[4]{x} \left(x - 15\right)}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \sqrt[4]{x} \left(x - 15\right)}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \sqrt[4]{x} \left(x - 15\right)}{5}+ \mathrm{constant}$