Integral de e^x*dx/((2*e^x))-1 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{2}$

      Método #2

      1. que $u = 2 e^{x}$.

         Luego que $du = 2 e^{x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 e^{x} \right)}}{2}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

   El resultado es: $- x + \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $- x + \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x + \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x + \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$