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Resolución de integrales/ (x/3)/ e^(-x/3)/ (e^(x/3)+e^(-x/3))^2

Integral de (e^(x/3)+e^(-x/3))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |             2   
 |  / x    -x \    
 |  | -    ---|    
 |  | 3     3 |    
 |  \E  + E   /  dx
 |                 
/                  
0
∫01(e(−1)x3+ex3)2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} + e^{\frac{x}{3}}\right)^{2}\, dx 
Integral((E^(x/3) + E^((-x)/3))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (e(−1)x3+ex3)2=(e4x3+2e2x3+1)e−2x3\left(e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} + e^{\frac{x}{3}}\right)^{2} = \left(e^{\frac{4 x}{3}} + 2 e^{\frac{2 x}{3}} + 1\right) e^{- \frac{2 x}{3}}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=e2x3u = e^{\frac{2 x}{3}}.

        Luego que du=2e2x3dx3du = \frac{2 e^{\frac{2 x}{3}} dx}{3} y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫3u2+6u+32u2 du\int \frac{3 u^{2} + 6 u + 3}{2 u^{2}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u2+6u+3u2 du=∫3u2+6u+3u2 du2\int \frac{3 u^{2} + 6 u + 3}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{3 u^{2} + 6 u + 3}{u^{2}}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            3u2+6u+3u2=3+6u+3u2\frac{3 u^{2} + 6 u + 3}{u^{2}} = 3 + \frac{6}{u} + \frac{3}{u^{2}}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫3 du=3u\int 3\, du = 3 u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫6u du=6∫1u du\int \frac{6}{u}\, du = 6 \int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: 6log⁡(u)6 \log{\left(u \right)}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫3u2 du=3∫1u2 du\int \frac{3}{u^{2}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −3u- \frac{3}{u}

            El resultado es: 3u+6log⁡(u)−3u3 u + 6 \log{\left(u \right)} - \frac{3}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 3u2+3log⁡(u)−32u\frac{3 u}{2} + 3 \log{\left(u \right)} - \frac{3}{2 u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3e2x32+3log⁡(e2x3)−3e−2x32\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + 3 \log{\left(e^{\frac{2 x}{3}} \right)} - \frac{3 e^{- \frac{2 x}{3}}}{2}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (e4x3+2e2x3+1)e−2x3=e2x3+2+e−2x3\left(e^{\frac{4 x}{3}} + 2 e^{\frac{2 x}{3}} + 1\right) e^{- \frac{2 x}{3}} = e^{\frac{2 x}{3}} + 2 + e^{- \frac{2 x}{3}}

      2. Integramos término a término:

        1. que u=2x3u = \frac{2 x}{3}.

          Luego que du=2dx3du = \frac{2 dx}{3} y ponemos 3du2\frac{3 du}{2}:

          ∫3eu2 du\int \frac{3 e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 3eu2\frac{3 e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3e2x32\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫2 dx=2x\int 2\, dx = 2 x

        1. que u=−2x3u = - \frac{2 x}{3}.

          Luego que du=−2dx3du = - \frac{2 dx}{3} y ponemos −3du2- \frac{3 du}{2}:

          ∫(−3eu2) du\int \left(- \frac{3 e^{u}}{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −3eu2- \frac{3 e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −3e−2x32- \frac{3 e^{- \frac{2 x}{3}}}{2}

        El resultado es: 2x+3e2x32−3e−2x322 x + \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3 e^{- \frac{2 x}{3}}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (e(−1)x3+ex3)2=e2x3+2+e−2x3\left(e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} + e^{\frac{x}{3}}\right)^{2} = e^{\frac{2 x}{3}} + 2 + e^{- \frac{2 x}{3}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=2x3u = \frac{2 x}{3}.

        Luego que du=2dx3du = \frac{2 dx}{3} y ponemos 3du2\frac{3 du}{2}:

        ∫3eu2 du\int \frac{3 e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 3eu2\frac{3 e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3e2x32\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫2 dx=2x\int 2\, dx = 2 x

      1. que u=−2x3u = - \frac{2 x}{3}.

        Luego que du=−2dx3du = - \frac{2 dx}{3} y ponemos −3du2- \frac{3 du}{2}:

        ∫(−3eu2) du\int \left(- \frac{3 e^{u}}{2}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −3eu2- \frac{3 e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3e−2x32- \frac{3 e^{- \frac{2 x}{3}}}{2}

      El resultado es: 2x+3e2x32−3e−2x322 x + \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3 e^{- \frac{2 x}{3}}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    3log⁡(sinh⁡(2x3)+cosh⁡(2x3))+3sinh⁡(2x3)3 \log{\left(\sinh{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cosh{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \right)} + 3 \sinh{\left(\frac{2 x}{3} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3log⁡(sinh⁡(2x3)+cosh⁡(2x3))+3sinh⁡(2x3)+constant3 \log{\left(\sinh{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cosh{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \right)} + 3 \sinh{\left(\frac{2 x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3log⁡(sinh⁡(2x3)+cosh⁡(2x3))+3sinh⁡(2x3)+constant3 \log{\left(\sinh{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cosh{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \right)} + 3 \sinh{\left(\frac{2 x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                                                     
 |            2                           -2*x      2*x
 | / x    -x \                / 2*x\      ----      ---
 | | -    ---|                | ---|       3         3 
 | | 3     3 |                |  3 |   3*e       3*e   
 | \E  + E   /  dx = C + 3*log\e   / - ------- + ------
 |                                        2        2   
/
∫(e(−1)x3+ex3)2 dx=C+3e2x32+3log⁡(e2x3)−3e−2x32\int \left(e^{\frac{\left(-1\right) x}{3}} + e^{\frac{x}{3}}\right)^{2}\, dx = C + \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + 3 \log{\left(e^{\frac{2 x}{3}} \right)} - \frac{3 e^{- \frac{2 x}{3}}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       -2/3      2/3
    3*e       3*e   
2 - ------- + ------
       2        2
−32e23+2+3e232- \frac{3}{2 e^{\frac{2}{3}}} + 2 + \frac{3 e^{\frac{2}{3}}}{2} 
=
= 
       -2/3      2/3
    3*e       3*e   
2 - ------- + ------
       2        2
−32e23+2+3e232- \frac{3}{2 e^{\frac{2}{3}}} + 2 + \frac{3 e^{\frac{2}{3}}}{2} 
2 - 3*exp(-2/3)/2 + 3*exp(2/3)/2
Respuesta numérica [src] 
4.15147538303313
4.15147538303313

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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