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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de 1/(y+y^3)
Integral de 1/4x+3
Integral de (1-2*x)*exp(-2*x)
Integral de (1-2*x)/x^2
Expresiones idénticas
(dos (uno -cost)*(2t-cos2t))
(2(1 menos coseno de t) multiplicar por (2t menos coseno de 2t))
(dos (uno menos coseno de t) multiplicar por (2t menos coseno de 2t))
(2(1-cost)(2t-cos2t))
21-cost2t-cos2t
Expresiones semejantes
(2(1+cost)*(2t-cos2t))
(2(1-cost)*(2t+cos2t))

Resolución de integrales/ cos2t/ (2(1-cost)*(2t-cos2t))

Integral de (2(1-cost)*(2t-cos2t)) dt

Solución

Ha introducido [src]

 2*pi                                  
   /                                   
  |                                    
  |  2*(1 - cos(t))*(2*t - cos(2*t)) dt
  |                                    
 /                                     
 0

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} 2 \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 t - \cos{\left(2 t \right)}\right)\, dt$$

Integral((2*(1 - cos(t)))*(2*t - cos(2*t)), (t, 0, 2*pi))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $2 \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 t - \cos{\left(2 t \right)}\right) = - 4 t \cos{\left(t \right)} + 4 t + 2 \cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)} - 2 \cos{\left(2 t \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 4 t \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 4 \int t \cos{\left(t \right)}\, dt$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(t \right)} = t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(t \right)}$ :
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(t \right)}\, dt = - \cos{\left(t \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 4 t \sin{\left(t \right)} - 4 \cos{\left(t \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 4 t\, dt = 4 \int t\, dt$
    1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $2 t^{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 2 \cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\, dt = 2 \int \cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\, dt$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)} = 2 \cos^{3}{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt = 2 \int \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}$
      
      que $u = \sin{\left(t \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 2 \sin{\left(t \right)}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \cos{\left(t \right)}\, dt$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(t \right)}$
      
      El resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 2 \sin{\left(t \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \cos{\left(2 t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \cos{\left(2 t \right)}\, dt$
    1. que $u = 2 t$ .
      
      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(2 t \right)}$
  El resultado es: $2 t^{2} - 4 t \sin{\left(t \right)} - \frac{4 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 2 \sin{\left(t \right)} - \sin{\left(2 t \right)} - 4 \cos{\left(t \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $2 \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 t - \cos{\left(2 t \right)}\right) = - 4 t \cos{\left(t \right)} + 4 t + 2 \cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)} - 2 \cos{\left(2 t \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 4 t \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 4 \int t \cos{\left(t \right)}\, dt$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(t \right)} = t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(t \right)}$ :
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(t \right)}\, dt = - \cos{\left(t \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 4 t \sin{\left(t \right)} - 4 \cos{\left(t \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 4 t\, dt = 4 \int t\, dt$
    1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $2 t^{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 2 \cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\, dt = 2 \int \cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}\, dt$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)} = 2 \cos^{3}{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt = 2 \int \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}$
      
      que $u = \sin{\left(t \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 2 \sin{\left(t \right)}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \cos{\left(t \right)}\, dt$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(t \right)}$
      
      El resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 2 \sin{\left(t \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \cos{\left(2 t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \cos{\left(2 t \right)}\, dt$
    1. que $u = 2 t$ .
      
      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(2 t \right)}$
  El resultado es: $2 t^{2} - 4 t \sin{\left(t \right)} - \frac{4 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 2 \sin{\left(t \right)} - \sin{\left(2 t \right)} - 4 \cos{\left(t \right)}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $2 \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 t - \cos{\left(2 t \right)}\right) = - 4 t \cos{\left(t \right)} + 4 t + 4 \cos^{3}{\left(t \right)} - 4 \cos^{2}{\left(t \right)} - 2 \cos{\left(t \right)} + 2$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 4 t \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 4 \int t \cos{\left(t \right)}\, dt$
    1. Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(t \right)} = t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(t \right)}$ :
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
    2. La integral del seno es un coseno menos:
      
      $\int \sin{\left(t \right)}\, dt = - \cos{\left(t \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 4 t \sin{\left(t \right)} - 4 \cos{\left(t \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 4 t\, dt = 4 \int t\, dt$
    1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $2 t^{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 4 \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt = 4 \int \cos^{3}{\left(t \right)}\, dt$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(t \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + \sin{\left(t \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 4 \sin{\left(t \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 4 \cos^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - 4 \int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 2 t$ .
      
      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 2 t - \sin{\left(2 t \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 \int \cos{\left(t \right)}\, dt$
    1. La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sin{\left(t \right)}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int 2\, dt = 2 t$
  El resultado es: $2 t^{2} - 4 t \sin{\left(t \right)} - \frac{4 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 2 \sin{\left(t \right)} - \sin{\left(2 t \right)} - 4 \cos{\left(t \right)}$
Ahora simplificar:

$2 t^{2} - 4 t \sin{\left(t \right)} + \sin{\left(t \right)} - \sin{\left(2 t \right)} + \frac{\sin{\left(3 t \right)}}{3} - 4 \cos{\left(t \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$2 t^{2} - 4 t \sin{\left(t \right)} + \sin{\left(t \right)} - \sin{\left(2 t \right)} + \frac{\sin{\left(3 t \right)}}{3} - 4 \cos{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 t^{2} - 4 t \sin{\left(t \right)} + \sin{\left(t \right)} - \sin{\left(2 t \right)} + \frac{\sin{\left(3 t \right)}}{3} - 4 \cos{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                      3                
 |                                                                   2              4*sin (t)             
 | 2*(1 - cos(t))*(2*t - cos(2*t)) dt = C - sin(2*t) - 4*cos(t) + 2*t  + 2*sin(t) - --------- - 4*t*sin(t)
 |                                                                                      3                 
/

$$\int 2 \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \left(2 t - \cos{\left(2 t \right)}\right)\, dt = C + 2 t^{2} - 4 t \sin{\left(t \right)} - \frac{4 \sin^{3}{\left(t \right)}}{3} + 2 \sin{\left(t \right)} - \sin{\left(2 t \right)} - 4 \cos{\left(t \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

    2
8*pi

$$8 \pi^{2}$$

    2
8*pi

$$8 \pi^{2}$$

8*pi^2

Respuesta numérica [src]

78.9568352087149

78.9568352087149

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de (2(1-cost)*(2t-cos2t)) dt

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3