Integral de ln(1+x^1/3) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \left(\sqrt[3]{x} + 1\right)}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\sqrt[3]{x}}{3 \left(\sqrt[3]{x} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x} + 1}\, dx}{3}$

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 du$:

      $\int \frac{3 u^{3}}{u + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3}}{u + 1}\, du = 3 \int \frac{u^{3}}{u + 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{3}}{u + 1} = u^{2} - u + 1 - \frac{1}{u + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u + 1}\right)\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u + 1 \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2}}{2} + u - \log{\left(u + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $u^{3} - \frac{3 u^{2}}{2} + 3 u - 3 \log{\left(u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + 3 \sqrt[3]{x} + x - 3 \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{2} + \sqrt[3]{x} + \frac{x}{3} - \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2} - \sqrt[3]{x} + x \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)} - \frac{x}{3} + \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2} - \sqrt[3]{x} + x \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)} - \frac{x}{3} + \log{\left(\sqrt[3]{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$