Integral de x^2/(1-x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - x^{3}$.

      Luego que $du = - 3 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(1 - x^{3} \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{1 - x^{3}} = - \frac{2 x + 1}{3 \left(x^{2} + x + 1\right)} - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2 x + 1}{3 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}\, dx}{3}$

         1. que $u = x^{2} + x + 1$.

            Luego que $du = \left(2 x + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x^{2} + x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{2} + x + 1 \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{3}$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3} - \frac{\log{\left(x^{2} + x + 1 \right)}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{1 - x^{3}} = - \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}\, dx$

      1. que $u = x^{3} - 1$.

         Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x^{3} - 1 \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{3} - 1 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(1 - x^{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(1 - x^{3} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$