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Resolución de integrales/ (x/3)/ 3xsin(x/3)

Integral de 3xsin(x/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |         /x\   
 |  3*x*sin|-| dx
 |         \3/   
 |               
/                
0
∫013xsin⁡(x3) dx\int\limits_{0}^{1} 3 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx 
Integral((3*x)*sin(x/3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=3xu{\left(x \right)} = 3 x y que dv⁡(x)=sin⁡(x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}.

    Entonces du⁡(x)=3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

      Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

      ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−9cos⁡(x3)) dx=−9∫cos⁡(x3) dx\int \left(- 9 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 9 \int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

    1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

      Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

      ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −27sin⁡(x3)- 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −9xcos⁡(x3)+27sin⁡(x3)+constant- 9 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−9xcos⁡(x3)+27sin⁡(x3)+constant- 9 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                                           
 |        /x\                /x\          /x\
 | 3*x*sin|-| dx = C + 27*sin|-| - 9*x*cos|-|
 |        \3/                \3/          \3/
 |                                           
/
∫3xsin⁡(x3) dx=C−9xcos⁡(x3)+27sin⁡(x3)\int 3 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = C - 9 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-9*cos(1/3) + 27*sin(1/3)
−9cos⁡(13)+27sin⁡(13)- 9 \cos{\left(\frac{1}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{1}{3} \right)} 
=
= 
-9*cos(1/3) + 27*sin(1/3)
−9cos⁡(13)+27sin⁡(13)- 9 \cos{\left(\frac{1}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{1}{3} \right)} 
-9*cos(1/3) + 27*sin(1/3)
Respuesta numérica [src] 
0.329644296663472
0.329644296663472

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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