Integral de 1/x*(1+lnx)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(u \right)}^{5} + 5 \log{\left(u \right)}^{4} + 10 \log{\left(u \right)}^{3} + 10 \log{\left(u \right)}^{2} + 5 \log{\left(u \right)} + 1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(u \right)}^{5} + 5 \log{\left(u \right)}^{4} + 10 \log{\left(u \right)}^{3} + 10 \log{\left(u \right)}^{2} + 5 \log{\left(u \right)} + 1}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(u \right)}^{5} + 5 \log{\left(u \right)}^{4} + 10 \log{\left(u \right)}^{3} + 10 \log{\left(u \right)}^{2} + 5 \log{\left(u \right)} + 1}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

                  $\int \left(u^{5} + 5 u^{4} + 10 u^{3} + 10 u^{2} + 5 u + 1\right)\, du$

                  1. Integramos término a término:

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int 5 u^{4}\, du = 5 \int u^{4}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $u^{5}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int 10 u^{3}\, du = 10 \int u^{3}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{4}}{2}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int 10 u^{2}\, du = 10 \int u^{2}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 u^{3}}{3}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int 5 u\, du = 5 \int u\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{2}}{2}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     El resultado es: $\frac{u^{6}}{6} + u^{5} + \frac{5 u^{4}}{2} + \frac{10 u^{3}}{3} + \frac{5 u^{2}}{2} + u$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(u \right)}^{6}}{6} + \log{\left(u \right)}^{5} + \frac{5 \log{\left(u \right)}^{4}}{2} + \frac{10 \log{\left(u \right)}^{3}}{3} + \frac{5 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} + \log{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}^{6}}{6} - \log{\left(u \right)}^{5} - \frac{5 \log{\left(u \right)}^{4}}{2} - \frac{10 \log{\left(u \right)}^{3}}{3} - \frac{5 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} - \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(u \right)}^{6}}{6} + \log{\left(u \right)}^{5} - \frac{5 \log{\left(u \right)}^{4}}{2} + \frac{10 \log{\left(u \right)}^{3}}{3} - \frac{5 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} + \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}^{6}}{6} - \log{\left(u \right)}^{5} + \frac{5 \log{\left(u \right)}^{4}}{2} - \frac{10 \log{\left(u \right)}^{3}}{3} + \frac{5 \log{\left(u \right)}^{2}}{2} - \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{6} + \log{\left(x \right)}^{5} + \frac{5 \log{\left(x \right)}^{4}}{2} + \frac{10 \log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{5}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{5} + 5 \log{\left(x \right)}^{4} + 10 \log{\left(x \right)}^{3} + 10 \log{\left(x \right)}^{2} + 5 \log{\left(x \right)} + 1}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- u^{5} - 5 u^{4} - 10 u^{3} - 10 u^{2} - 5 u - 1\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{5}\right)\, du = - \int u^{5}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 5 u^{4}\right)\, du = - 5 \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- u^{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 10 u^{3}\right)\, du = - 10 \int u^{3}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{4}}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 10 u^{2}\right)\, du = - 10 \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 u^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 5 u\right)\, du = - 5 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-1\right)\, du = - u$

               El resultado es: $- \frac{u^{6}}{6} - u^{5} - \frac{5 u^{4}}{2} - \frac{10 u^{3}}{3} - \frac{5 u^{2}}{2} - u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} - \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{2} - \frac{10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} - \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{2} + \frac{10 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} + \frac{5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{6} + \log{\left(x \right)}^{5} + \frac{5 \log{\left(x \right)}^{4}}{2} + \frac{10 \log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{5}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{5}}{x} + \frac{5 \log{\left(x \right)}^{4}}{x} + \frac{10 \log{\left(x \right)}^{3}}{x} + \frac{10 \log{\left(x \right)}^{2}}{x} + \frac{5 \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{5}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 \log{\left(x \right)}^{4}}{x}\, dx = 5 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(x \right)}^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{10 \log{\left(x \right)}^{3}}{x}\, dx = 10 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \log{\left(x \right)}^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{10 \log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx = 10 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 \log{\left(x \right)}^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 5 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{6} + \log{\left(x \right)}^{5} + \frac{5 \log{\left(x \right)}^{4}}{2} + \frac{10 \log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \frac{5 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{5} + 6 \log{\left(x \right)}^{4} + 15 \log{\left(x \right)}^{3} + 20 \log{\left(x \right)}^{2} + 15 \log{\left(x \right)} + 6\right) \log{\left(x \right)}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{5} + 6 \log{\left(x \right)}^{4} + 15 \log{\left(x \right)}^{3} + 20 \log{\left(x \right)}^{2} + 15 \log{\left(x \right)} + 6\right) \log{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)}^{5} + 6 \log{\left(x \right)}^{4} + 15 \log{\left(x \right)}^{3} + 20 \log{\left(x \right)}^{2} + 15 \log{\left(x \right)} + 6\right) \log{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$