Sr Examen

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Integral de ln(x^2-4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1               
  /               
 |                
 |     / 2    \   
 |  log\x  - 4/ dx
 |                
/                 
0                 
01log(x24)dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(x^{2} - 4 \right)}\, dx
Integral(log(x^2 - 4), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log(x24)u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} - 4 \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du(x)=2xx24\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} - 4}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      1dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    2x2x24dx=2x2x24dx\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2x24=11x+2+1x2\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} = 1 - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (1x+2)dx=1x+2dx\int \left(- \frac{1}{x + 2}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 2}\, dx

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(x+2)- \log{\left(x + 2 \right)}

      1. que u=x2u = x - 2.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        1udu\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(x2)\log{\left(x - 2 \right)}

      El resultado es: x+log(x2)log(x+2)x + \log{\left(x - 2 \right)} - \log{\left(x + 2 \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: 2x+2log(x2)2log(x+2)2 x + 2 \log{\left(x - 2 \right)} - 2 \log{\left(x + 2 \right)}

  3. Ahora simplificar:

    xlog(x24)2x2log(x2)+2log(x+2)x \log{\left(x^{2} - 4 \right)} - 2 x - 2 \log{\left(x - 2 \right)} + 2 \log{\left(x + 2 \right)}

  4. Añadimos la constante de integración:

    xlog(x24)2x2log(x2)+2log(x+2)+constantx \log{\left(x^{2} - 4 \right)} - 2 x - 2 \log{\left(x - 2 \right)} + 2 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

xlog(x24)2x2log(x2)+2log(x+2)+constantx \log{\left(x^{2} - 4 \right)} - 2 x - 2 \log{\left(x - 2 \right)} + 2 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                       
 |                                                                        
 |    / 2    \                                                    / 2    \
 | log\x  - 4/ dx = C - 2*x - 2*log(-2 + x) + 2*log(2 + x) + x*log\x  - 4/
 |                                                                        
/                                                                         
log(x24)dx=C+xlog(x24)2x2log(x2)+2log(x+2)\int \log{\left(x^{2} - 4 \right)}\, dx = C + x \log{\left(x^{2} - 4 \right)} - 2 x - 2 \log{\left(x - 2 \right)} + 2 \log{\left(x + 2 \right)}
Gráfica
-0.010-0.008-0.006-0.004-0.0020.0100.0000.0020.0040.0060.0080.00
Respuesta [src]
-2 + 3*log(3) + pi*I
2+3log(3)+iπ-2 + 3 \log{\left(3 \right)} + i \pi
=
=
-2 + 3*log(3) + pi*I
2+3log(3)+iπ-2 + 3 \log{\left(3 \right)} + i \pi
-2 + 3*log(3) + pi*i
Respuesta numérica [src]
(1.29583686600433 + 3.14159265358979j)
(1.29583686600433 + 3.14159265358979j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.