Integral de (x+(arccos(3*x))^2)/sqrt(1-9*x^2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x + \operatorname{acos}^{2}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} + \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(3 x \right)}}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$

2. Integramos término a término:

   1. que $u = 1 - 9 x^{2}$.

      Luego que $du = - 18 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{18}$:

      $\int \left(- \frac{1}{18 \sqrt{u}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{18}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{u}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9}$

   1. que $u = \operatorname{acos}{\left(3 x \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{3 dx}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{u^{2}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\operatorname{acos}^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$

   El resultado es: $- \frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9} - \frac{\operatorname{acos}^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9} - \frac{\operatorname{acos}^{3}{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}{9} - \frac{\operatorname{acos}^{3}{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$