Sr Examen

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Resolución de integrales/ (e^x)/ -xlog(xe^2)+xlog(e^x)

Integral de -xlog(xe^2)+xlog(e^x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  6                              
  /                              
 |                               
 |  /      /   2\        / x\\   
 |  \-x*log\x*E / + x*log\E // dx
 |                               
/                                
2
∫26(−xlog⁡(e2x)+xlog⁡(ex)) dx\int\limits_{2}^{6} \left(- x \log{\left(e^{2} x \right)} + x \log{\left(e^{x} \right)}\right)\, dx 
Integral((-x)*log(x*E^2) + x*log(E^x), (x, 2, 6))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        −xlog⁡(e2x)=−xlog⁡(x)−2x- x \log{\left(e^{2} x \right)} = - x \log{\left(x \right)} - 2 x

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−xlog⁡(x)) dx=−∫xlog⁡(x) dx\int \left(- x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \log{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

            Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

            ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

              Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2log⁡(x)2+x24- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2x) dx=−2∫x dx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2- x^{2}

        El resultado es: −x2log⁡(x)2−3x24- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(e2x)u{\left(x \right)} = \log{\left(e^{2} x \right)} y que dv⁡(x)=−x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = - x.

        Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2) dx=−∫x dx2\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x24- \frac{x^{2}}{4}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        −xlog⁡(e2x)=−xlog⁡(x)−2x- x \log{\left(e^{2} x \right)} = - x \log{\left(x \right)} - 2 x

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−xlog⁡(x)) dx=−∫xlog⁡(x) dx\int \left(- x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \log{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

            Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

            ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

              Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2log⁡(x)2+x24- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2x) dx=−2∫x dx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2- x^{2}

        El resultado es: −x2log⁡(x)2−3x24- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(ex)u{\left(x \right)} = \log{\left(e^{x} \right)} y que dv⁡(x)=x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x22 dx=∫x2 dx2\int \frac{x^{2}}{2}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{2}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: x36\frac{x^{3}}{6}

    El resultado es: −x36+x2log⁡(ex)2−x2log⁡(x)2−3x24- \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2} \log{\left(e^{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    x2(−2x−6log⁡(x)+6log⁡(ex)−9)12\frac{x^{2} \left(- 2 x - 6 \log{\left(x \right)} + 6 \log{\left(e^{x} \right)} - 9\right)}{12}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(−2x−6log⁡(x)+6log⁡(ex)−9)12+constant\frac{x^{2} \left(- 2 x - 6 \log{\left(x \right)} + 6 \log{\left(e^{x} \right)} - 9\right)}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(−2x−6log⁡(x)+6log⁡(ex)−9)12+constant\frac{x^{2} \left(- 2 x - 6 \log{\left(x \right)} + 6 \log{\left(e^{x} \right)} - 9\right)}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                      
 |                                        2    3    2    / x\    2       
 | /      /   2\        / x\\          3*x    x    x *log\E /   x *log(x)
 | \-x*log\x*E / + x*log\E // dx = C - ---- - -- + ---------- - ---------
 |                                      4     6        2            2    
/
∫(−xlog⁡(e2x)+xlog⁡(ex)) dx=C−x36+x2log⁡(ex)2−x2log⁡(x)2−3x24\int \left(- x \log{\left(e^{2} x \right)} + x \log{\left(e^{x} \right)}\right)\, dx = C - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2} \log{\left(e^{x} \right)}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}
Simplificar
Gráfica
2.06.02.53.03.54.04.55.05.5-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
232         /   2\        /   2\
--- - 18*log\6*e / + 2*log\2*e /
 3
−18log⁡(6e2)+2log⁡(2e2)+2323- 18 \log{\left(6 e^{2} \right)} + 2 \log{\left(2 e^{2} \right)} + \frac{232}{3} 
=
= 
232         /   2\        /   2\
--- - 18*log\6*e / + 2*log\2*e /
 3
−18log⁡(6e2)+2log⁡(2e2)+2323- 18 \log{\left(6 e^{2} \right)} + 2 \log{\left(2 e^{2} \right)} + \frac{232}{3} 
232/3 - 18*log(6*exp(2)) + 2*log(2*exp(2))
Respuesta numérica [src] 
14.4679572483482
14.4679572483482

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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