Integral de 4|x-2|+3(x-1)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 \left(x - 1\right)^{2}\, dx = 3 \int \left(x - 1\right)^{2}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x - 1\right)^{3}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x - 1\right)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(x - 1\right)^{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 \left|{x - 2}\right|\, dx = 4 \int \left|{x - 2}\right|\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \left|{x - 2}\right|\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $4 \int \left|{x - 2}\right|\, dx$

   El resultado es: $\left(x - 1\right)^{3} + 4 \int \left|{x - 2}\right|\, dx$

2. Ahora simplificar:

   $\left(x - 1\right)^{3} + 4 \int \left|{x - 2}\right|\, dx$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x - 1\right)^{3} + 4 \int \left|{x - 2}\right|\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x - 1\right)^{3} + 4 \int \left|{x - 2}\right|\, dx+ \mathrm{constant}$