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Resolución de integrales/ (x+1)/ 1/(x²(x+1))

Integral de 1/(x²(x+1)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |      1        
 |  ---------- dx
 |   2           
 |  x *(x + 1)   
 |               
/                
0
∫011x2(x+1) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)}\, dx 
Integral(1/(x^2*(x + 1)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x2(x+1)=1x+1−1x+1x2\frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x) dx=−∫1x dx\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)- \log{\left(x \right)}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: −log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x2(x+1)=1x3+x2\frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)} = \frac{1}{x^{3} + x^{2}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x3+x2=1x+1−1x+1x2\frac{1}{x^{3} + x^{2}} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x) dx=−∫1x dx\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)- \log{\left(x \right)}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: −log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1x2(x+1)=1x3+x2\frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)} = \frac{1}{x^{3} + x^{2}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x3+x2=1x+1−1x+1x2\frac{1}{x^{3} + x^{2}} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1x) dx=−∫1x dx\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)- \log{\left(x \right)}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: −log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x+constant- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x+constant- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                                            
 |     1               1                      
 | ---------- dx = C - - - log(x) + log(1 + x)
 |  2                  x                      
 | x *(x + 1)                                 
 |                                            
/
∫1x2(x+1) dx=C−log⁡(x)+log⁡(x+1)−1x\int \frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)}\, dx = C - \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{x}
Simplificar
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
1.3793236779486e+19
1.3793236779486e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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