Integral de (sqr(x)-16)/(sqrt(x)+2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{4} - 4 u^{3} + 8 u^{2} - 16 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u^{3}\right)\, du = - 4 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 u^{2}\, du = 8 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 16 u\right)\, du = - 16 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 8 u^{2}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5} - u^{4} + \frac{8 u^{3}}{3} - 8 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x^{2} - 8 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} - 16}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{16}{\sqrt{x} + 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 u^{5}}{u + 2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{5}}{u + 2}\, du = 2 \int \frac{u^{5}}{u + 2}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{5}}{u + 2} = u^{4} - 2 u^{3} + 4 u^{2} - 8 u + 16 - \frac{32}{u + 2}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 u^{3}\right)\, du = - 2 \int u^{3}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 4 u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 8 u\right)\, du = - 8 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 4 u^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 16\, du = 16 u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{32}{u + 2}\right)\, du = - 32 \int \frac{1}{u + 2}\, du$

                  1. que $u = u + 2$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 32 \log{\left(u + 2 \right)}$

               El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{4}}{2} + \frac{4 u^{3}}{3} - 4 u^{2} + 16 u - 32 \log{\left(u + 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5} - u^{4} + \frac{8 u^{3}}{3} - 8 u^{2} + 32 u - 64 \log{\left(u + 2 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 32 \sqrt{x} - x^{2} - 8 x - 64 \log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{16}{\sqrt{x} + 2}\right)\, dx = - 16 \int \frac{1}{\sqrt{x} + 2}\, dx$

         1. que $u = \sqrt{x}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

            $\int \frac{2 u}{u + 2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u}{u + 2}\, du = 2 \int \frac{u}{u + 2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u}{u + 2} = 1 - \frac{2}{u + 2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{2}{u + 2}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u + 2}\, du$

                     1. que $u = u + 2$.

                        Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u + 2 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(u + 2 \right)}$

                  El resultado es: $u - 2 \log{\left(u + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 u - 4 \log{\left(u + 2 \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{x} - 4 \log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 32 \sqrt{x} + 64 \log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x^{2} - 8 x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x^{2} - 8 x+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} - x^{2} - 8 x+ \mathrm{constant}$