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Resolución de integrales/ sin2x/ sin^2/ sin2x/sqrt(1+sin^2(x))

Integral de sin2x/sqrt(1+sin^2(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |      sin(2*x)       
 |  ---------------- dx
 |     _____________   
 |    /        2       
 |  \/  1 + sin (x)    
 |                     
/                      
0
∫01sin⁡(2x)sin⁡2(x)+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}\, dx 
Integral(sin(2*x)/sqrt(1 + sin(x)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}\, dx

      1. que u=sin⁡2(x)+1u = \sin^{2}{\left(x \right)} + 1.

        Luego que du=2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Por lo tanto, el resultado es: u\sqrt{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡2(x)+1\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}

      Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡2(x)+12 \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)sin⁡2(x)+1=2sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)+1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}\, dx

      1. que u=sin⁡2(x)+1u = \sin^{2}{\left(x \right)} + 1.

        Luego que du=2sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Por lo tanto, el resultado es: u\sqrt{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡2(x)+1\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}

      Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡2(x)+12 \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2sin⁡2(x)+1+constant2 \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2sin⁡2(x)+1+constant2 \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                                _____________
 |     sin(2*x)                  /        2    
 | ---------------- dx = C + 2*\/  1 + sin (x) 
 |    _____________                            
 |   /        2                                
 | \/  1 + sin (x)                             
 |                                             
/
∫sin⁡(2x)sin⁡2(x)+1 dx=C+2sin⁡2(x)+1\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}}\, dx = C + 2 \sqrt{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.05.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
          _____________
         /        2    
-2 + 2*\/  1 + sin (1)
−2+2sin⁡2(1)+1-2 + 2 \sqrt{\sin^{2}{\left(1 \right)} + 1} 
=
= 
          _____________
         /        2    
-2 + 2*\/  1 + sin (1)
−2+2sin⁡2(1)+1-2 + 2 \sqrt{\sin^{2}{\left(1 \right)} + 1} 
-2 + 2*sqrt(1 + sin(1)^2)
Respuesta numérica [src] 
0.613865657047868
0.613865657047868

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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