Integral de sin^5(x)*cos(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{5}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin^{6}{\left(x \right)}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. que $u = 1 - \cos^{2}{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{2}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin^{6}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin^{6}{\left(x \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$