Integral de x^2*dx/(2*x^3+3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x^{3} + 3$.

      Luego que $du = 6 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

      $\int \frac{1}{6 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(2 x^{3} + 3 \right)}}{6}$

   Método #2

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{6 u + 9}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 6 u + 9$.

            Luego que $du = 6 du$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{1}{6 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(6 u + 9 \right)}}{6}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{6 u + 9} = \frac{1}{3 \left(2 u + 3\right)}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{3 \left(2 u + 3\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{2 u + 3}\, du}{3}$

            1. que $u = 2 u + 3$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(2 u + 3 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 u + 3 \right)}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(6 x^{3} + 9 \right)}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(2 x^{3} + 3 \right)}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(2 x^{3} + 3 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(2 x^{3} + 3 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$