Integral de (2*x+5)/sqrt(x^2+6*x+10) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{2 x + 5}{\sqrt{\left(x^{2} + 6 x\right) + 10}} = \frac{2 x}{\sqrt{\left(x^{2} + 6 x\right) + 10}} + \frac{5}{\sqrt{\left(x^{2} + 6 x\right) + 10}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x}{\sqrt{\left(x^{2} + 6 x\right) + 10}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{\left(x^{2} + 6 x\right) + 10}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 10}}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 10}}\, dx$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{5}{\sqrt{\left(x^{2} + 6 x\right) + 10}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 6 x\right) + 10}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 6 x\right) + 10}}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $5 \int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 6 x\right) + 10}}\, dx$

   El resultado es: $2 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 10}}\, dx + 5 \int \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 6 x\right) + 10}}\, dx$

3. Ahora simplificar:

   $2 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 10}}\, dx + 5 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 10}}\, dx$

4. Añadimos la constante de integración:

   $2 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 10}}\, dx + 5 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 10}}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 10}}\, dx + 5 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 6 x + 10}}\, dx+ \mathrm{constant}$