Integral de 1/(x^1/2+x^1/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 u}{\sqrt{u} + u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{\sqrt{u} + u}\, du = 2 \int \frac{u}{\sqrt{u} + u}\, du$

         1. que $u = \sqrt{u}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2 \sqrt{u}}$ y ponemos $2 du$:

            $\int \frac{2 u^{2}}{u + 1}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du = 2 \int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u^{2}}{u + 1} = u - 1 + \frac{1}{u + 1}$

               2. Integramos término a término:

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \left(-1\right)\, du = - u$

                  1. que $u = u + 1$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u + 1 \right)}$

                  El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - u + \log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $u^{2} - 2 u + 2 \log{\left(u + 1 \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sqrt{u} + u + 2 \log{\left(\sqrt{u} + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \sqrt{u} + 2 u + 4 \log{\left(\sqrt{u} + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 4 \sqrt[4]{x} + 2 \sqrt{x} + 4 \log{\left(\sqrt[4]{x} + 1 \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt[4]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $4 du$:

      $\int \frac{4 u^{2}}{u + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du = 4 \int \frac{u^{2}}{u + 1}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2}}{u + 1} = u - 1 + \frac{1}{u + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-1\right)\, du = - u$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - u + \log{\left(u + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2} - 4 u + 4 \log{\left(u + 1 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 4 \sqrt[4]{x} + 2 \sqrt{x} + 4 \log{\left(\sqrt[4]{x} + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 4 \sqrt[4]{x} + 2 \sqrt{x} + 4 \log{\left(\sqrt[4]{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 4 \sqrt[4]{x} + 2 \sqrt{x} + 4 \log{\left(\sqrt[4]{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$