Integral de sqrt(x)*log(x)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \log{\left(u^{2} \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \log{\left(u^{2} \right)}\, du = 2 \int \log{\left(u^{2} \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u^{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{2}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u \log{\left(u^{2} \right)} - 4 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}$

   Método #2

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{\frac{u}{2}}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = \frac{u}{2}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{u}{2}}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 \int e^{\frac{u}{2}}\, du$

         1. que $u = \frac{u}{2}$.

            Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{u}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{\frac{u}{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}$

   Método #3

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}\, du = - \int \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u e^{\frac{u}{2}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u e^{\frac{u}{2}}\, du = - \int u e^{\frac{u}{2}}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. que $u = \frac{u}{2}$.

                     Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

                     $\int 2 e^{u}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $2 e^{\frac{u}{2}}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 \int e^{\frac{u}{2}}\, du$

                  1. que $u = \frac{u}{2}$.

                     Luego que $du = \frac{du}{2}$ y ponemos $2 du$:

                     $\int 2 e^{u}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $2 e^{\frac{u}{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{\frac{u}{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u e^{\frac{u}{2}} + 4 e^{\frac{u}{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sqrt{\frac{1}{u}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 4 \sqrt{\frac{1}{u}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \sqrt{\frac{1}{u}} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 4 \sqrt{\frac{1}{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} \log{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} \left(\log{\left(x \right)} - 2\right)+ \mathrm{constant}$