Integral de 1/ln(x)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{u \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}\, du = - \int \frac{1}{u \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$