Integral de (-(-1-x-y)^2)/2+y*(-1-x-y) dy

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - y$.

         Luego que $du = - dy$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{2} - u x - u\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u x\right)\, du = - x \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2} x}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{2} x}{2} - \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{x y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3} - \frac{y^{2}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $y \left(- y + \left(- x - 1\right)\right) = - y^{2} - y \left(x + 1\right)$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- y^{2}\right)\, dy = - \int y^{2}\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- y \left(x + 1\right)\right)\, dy = \left(- x - 1\right) \int y\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y^{2} \left(- x - 1\right)}{2}$

         El resultado es: $- \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2} \left(- x - 1\right)}{2}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $y \left(- y + \left(- x - 1\right)\right) = - x y - y^{2} - y$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x y\right)\, dy = - x \int y\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x y^{2}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- y^{2}\right)\, dy = - \int y^{2}\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- y\right)\, dy = - \int y\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y^{2}}{2}$

         El resultado es: $- \frac{x y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3} - \frac{y^{2}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(-1\right) \left(- y + \left(- x - 1\right)\right)^{2}}{2}\, dy = \frac{\int \left(- \left(- y + \left(- x - 1\right)\right)^{2}\right)\, dy}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \left(- y + \left(- x - 1\right)\right)^{2}\right)\, dy = - \int \left(- y + \left(- x - 1\right)\right)^{2}\, dy$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = - y + \left(- x - 1\right)$.

               Luego que $du = - dy$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\left(- y + \left(- x - 1\right)\right)^{3}}{3}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(- y + \left(- x - 1\right)\right)^{2} = x^{2} + 2 x + y^{2} + y \left(2 x + 2\right) + 1$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int x^{2}\, dy = x^{2} y$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 2 x\, dy = 2 x y$

               1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int y \left(2 x + 2\right)\, dy = \left(2 x + 2\right) \int y\, dy$

                  1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y^{2} \left(2 x + 2\right)}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dy = y$

               El resultado es: $x^{2} y + 2 x y + \frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2} \left(2 x + 2\right)}{2} + y$

            Método #3

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(- y + \left(- x - 1\right)\right)^{2} = x^{2} + 2 x y + 2 x + y^{2} + 2 y + 1$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int x^{2}\, dy = x^{2} y$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 x y\, dy = 2 x \int y\, dy$

                  1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $x y^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 2 x\, dy = 2 x y$

               1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 y\, dy = 2 \int y\, dy$

                  1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $y^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dy = y$

               El resultado es: $x^{2} y + x y^{2} + 2 x y + \frac{y^{3}}{3} + y^{2} + y$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(- y + \left(- x - 1\right)\right)^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(- y + \left(- x - 1\right)\right)^{3}}{6}$

   El resultado es: $- \frac{x y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3} - \frac{y^{2}}{2} + \frac{\left(- y + \left(- x - 1\right)\right)^{3}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{\left(x + y + 1\right)^{3}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{\left(x + y + 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{\left(x + y + 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$