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Resolución de integrales/ (x^(y+1))/y+1

Integral de (x^(y+1))/y+1 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |  / y + 1    \   
 |  |x         |   
 |  |------ + 1| dx
 |  \  y       /   
 |                 
/                  
0
∫01(xy+1y+1) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{x^{y + 1}}{y} + 1\right)\, dx 
Integral(x^(y + 1)/y + 1, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫xy+1y dx=∫xy+1 dxy\int \frac{x^{y + 1}}{y}\, dx = \frac{\int x^{y + 1}\, dx}{y}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫xy+1 dx={xy+2y+2for y+1≠−1log⁡(x)otherwese\int x^{y + 1}\, dx = \begin{cases} \frac{x^{y + 2}}{y + 2} & \text{for}\: y + 1 \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

      Por lo tanto, el resultado es: {xy+2y+2for y+1≠−1log⁡(x)otherwesey\frac{\begin{cases} \frac{x^{y + 2}}{y + 2} & \text{for}\: y + 1 \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}}{y}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    El resultado es: x+{xy+2y+2for y+1≠−1log⁡(x)otherweseyx + \frac{\begin{cases} \frac{x^{y + 2}}{y + 2} & \text{for}\: y + 1 \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}}{y}

  2. Ahora simplificar:

    {xy(y+2)+xy+2y(y+2)for y≠−2x+log⁡(x)yotherwese\begin{cases} \frac{x y \left(y + 2\right) + x^{y + 2}}{y \left(y + 2\right)} & \text{for}\: y \neq -2 \\x + \frac{\log{\left(x \right)}}{y} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {xy(y+2)+xy+2y(y+2)for y≠−2x+log⁡(x)yotherwese+constant\begin{cases} \frac{x y \left(y + 2\right) + x^{y + 2}}{y \left(y + 2\right)} & \text{for}\: y \neq -2 \\x + \frac{\log{\left(x \right)}}{y} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{xy(y+2)+xy+2y(y+2)for y≠−2x+log⁡(x)yotherwese+constant\begin{cases} \frac{x y \left(y + 2\right) + x^{y + 2}}{y \left(y + 2\right)} & \text{for}\: y \neq -2 \\x + \frac{\log{\left(x \right)}}{y} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                             / 2 + y                 
                             |x                      
                             |------  for y + 1 != -1
  /                          <2 + y                  
 |                           |                       
 | / y + 1    \              |log(x)     otherwise   
 | |x         |              \                       
 | |------ + 1| dx = C + x + ------------------------
 | \  y       /                         y            
 |                                                   
/
∫(xy+1y+1) dx=C+x+{xy+2y+2for y+1≠−1log⁡(x)otherwisey\int \left(\frac{x^{y + 1}}{y} + 1\right)\, dx = C + x + \frac{\begin{cases} \frac{x^{y + 2}}{y + 2} & \text{for}\: y + 1 \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}}{y}
Simplificar
Respuesta [src] 
    //               2 + y                                    \
    ||    1         0                                         |
    ||--------- - ---------  for And(y > -oo, y < oo, y != -2)|
    ||y*(2 + y)   y*(2 + y)                                   |
1 + |<                                                        |
    ||            /1\                                         |
    ||     oo*sign|-|                    otherwise            |
    ||            \y/                                         |
    \\                                                        /
{−0y+2y(y+2)+1y(y+2)for y>−∞∧y<∞∧y≠−2∞sign⁡(1y)otherwise+1\begin{cases} - \frac{0^{y + 2}}{y \left(y + 2\right)} + \frac{1}{y \left(y + 2\right)} & \text{for}\: y > -\infty \wedge y < \infty \wedge y \neq -2 \\\infty \operatorname{sign}{\left(\frac{1}{y} \right)} & \text{otherwise} \end{cases} + 1 
=
= 
    //               2 + y                                    \
    ||    1         0                                         |
    ||--------- - ---------  for And(y > -oo, y < oo, y != -2)|
    ||y*(2 + y)   y*(2 + y)                                   |
1 + |<                                                        |
    ||            /1\                                         |
    ||     oo*sign|-|                    otherwise            |
    ||            \y/                                         |
    \\                                                        /
{−0y+2y(y+2)+1y(y+2)for y>−∞∧y<∞∧y≠−2∞sign⁡(1y)otherwise+1\begin{cases} - \frac{0^{y + 2}}{y \left(y + 2\right)} + \frac{1}{y \left(y + 2\right)} & \text{for}\: y > -\infty \wedge y < \infty \wedge y \neq -2 \\\infty \operatorname{sign}{\left(\frac{1}{y} \right)} & \text{otherwise} \end{cases} + 1 
1 + Piecewise((1/(y*(2 + y)) - 0^(2 + y)/(y*(2 + y)), (y > -oo)∧(y < oo)∧(Ne(y, -2))), (oo*sign(1/y), True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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