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Resolución de integrales/ ln(4*x)/ x^3*(ln(4*x))

Integral de x^3*(ln(4*x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |   3            
 |  x *log(4*x) dx
 |                
/                 
0
∫01x3log⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} x^{3} \log{\left(4 x \right)}\, dx 
Integral(x^3*log(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x3log⁡(4x)=x3log⁡(x)+2x3log⁡(2)x^{3} \log{\left(4 x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3} \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue4u du\int u e^{4 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e4u4 du=∫e4u du4\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e4u16\frac{e^{4 u}}{16}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x4log⁡(x)4−x416\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x3log⁡(2) dx=2log⁡(2)∫x3 dx\int 2 x^{3} \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x4log⁡(2)2\frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2}

      El resultado es: x4log⁡(x)4−x416+x4log⁡(2)2\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(4x)u{\left(x \right)} = \log{\left(4 x \right)} y que dv⁡(x)=x3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3}.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x34 dx=∫x3 dx4\int \frac{x^{3}}{4}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{4}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: x416\frac{x^{4}}{16}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x3log⁡(4x)=x3log⁡(x)+2x3log⁡(2)x^{3} \log{\left(4 x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} + 2 x^{3} \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue4u du\int u e^{4 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e4u4 du=∫e4u du4\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}

          1. que u=4uu = 4 u.

            Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e4u16\frac{e^{4 u}}{16}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x4log⁡(x)4−x416\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x3log⁡(2) dx=2log⁡(2)∫x3 dx\int 2 x^{3} \log{\left(2 \right)}\, dx = 2 \log{\left(2 \right)} \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x4log⁡(2)2\frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2}

      El resultado es: x4log⁡(x)4−x416+x4log⁡(2)2\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    x4(4log⁡(x)−1+log⁡(256))16\frac{x^{4} \left(4 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(256 \right)}\right)}{16}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x4(4log⁡(x)−1+log⁡(256))16+constant\frac{x^{4} \left(4 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(256 \right)}\right)}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x4(4log⁡(x)−1+log⁡(256))16+constant\frac{x^{4} \left(4 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(256 \right)}\right)}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               
 |                       4    4           4       
 |  3                   x    x *log(2)   x *log(x)
 | x *log(4*x) dx = C - -- + --------- + ---------
 |                      16       2           4    
/
∫x3log⁡(4x) dx=C+x4log⁡(x)4−x416+x4log⁡(2)2\int x^{3} \log{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1    log(4)
- -- + ------
  16     4
−116+log⁡(4)4- \frac{1}{16} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{4} 
=
= 
  1    log(4)
- -- + ------
  16     4
−116+log⁡(4)4- \frac{1}{16} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{4} 
-1/16 + log(4)/4
Respuesta numérica [src] 
0.284073590279973
0.284073590279973

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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