Integral de (2x-x^3)e^x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $e^{x} \left(- x^{3} + 2 x\right) = - x^{3} e^{x} + 2 x e^{x}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x^{3} e^{x}\right)\, dx = - \int x^{3} e^{x}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 6 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 e^{x}\, dx = 6 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 6 e^{x}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x e^{x}\, dx = 2 \int x e^{x}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 x e^{x} - 2 e^{x}$

   El resultado es: $- x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 4 x e^{x} + 4 e^{x}$

3. Ahora simplificar:

   $\left(- x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 4\right) e^{x}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\left(- x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 4\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(- x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 4\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$