Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x-1)/ (x-2)/ (x-2)/((x-1)^(1/2))

Integral de (x-2)/((x-1)^(1/2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2             
  /             
 |              
 |    x - 2     
 |  --------- dx
 |    _______   
 |  \/ x - 1    
 |              
/               
1
∫12x−2x−1 dx\int\limits_{1}^{2} \frac{x - 2}{\sqrt{x - 1}}\, dx 
Integral((x - 2)/sqrt(x - 1), (x, 1, 2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x−1u = \sqrt{x - 1}.

      Luego que du=dx2x−1du = \frac{dx}{2 \sqrt{x - 1}} y ponemos dudu:

      ∫(2u2−2) du\int \left(2 u^{2} - 2\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2u2 du=2∫u2 du\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u33\frac{2 u^{3}}{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−2) du=−2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

        El resultado es: 2u33−2u\frac{2 u^{3}}{3} - 2 u

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(x−1)323−2x−1\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x - 1}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x−2x−1=xx−1−2x−1\frac{x - 2}{\sqrt{x - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x - 1}} - \frac{2}{\sqrt{x - 1}}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=1x−1u = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}.

        Luego que du=−dx2(x−1)32du = - \frac{dx}{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} y ponemos dudu:

        ∫(−2(1+1u2)2+2+2u2) du\int \left(- 2 \left(1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} + 2 + \frac{2}{u^{2}}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2(1+1u2)2) du=−2∫(1+1u2)2 du\int \left(- 2 \left(1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\, du

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (1+1u2)2=1+2u2+1u4\left(1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = 1 + \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫1 du=u\int 1\, du = u

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫2u2 du=2∫1u2 du\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: −2u- \frac{2}{u}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                El resultado es: u−2u−13u3u - \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

              Método #2

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                (1+1u2)2=u4+2u2+1u4\left(1 + \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}}

              2. Vuelva a escribir el integrando:

                u4+2u2+1u4=1+2u2+1u4\frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 + \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

              3. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫1 du=u\int 1\, du = u

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫2u2 du=2∫1u2 du\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: −2u- \frac{2}{u}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                El resultado es: u−2u−13u3u - \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

            Por lo tanto, el resultado es: −2u+4u+23u3- 2 u + \frac{4}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫2 du=2u\int 2\, du = 2 u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2u2 du=2∫1u2 du\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −2u- \frac{2}{u}

          El resultado es: 2u+23u3\frac{2}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2(x−1)323+2x−1\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \sqrt{x - 1}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x−1) dx=−2∫1x−1 dx\int \left(- \frac{2}{\sqrt{x - 1}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\, dx

        1. que u=x−1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2x−12 \sqrt{x - 1}

        Por lo tanto, el resultado es: −4x−1- 4 \sqrt{x - 1}

      El resultado es: 2(x−1)323−2x−1\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x - 1}

  2. Ahora simplificar:

    2(x−4)x−13\frac{2 \left(x - 4\right) \sqrt{x - 1}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2(x−4)x−13+constant\frac{2 \left(x - 4\right) \sqrt{x - 1}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(x−4)x−13+constant\frac{2 \left(x - 4\right) \sqrt{x - 1}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                           3/2
 |   x - 2                _______   2*(x - 1)   
 | --------- dx = C - 2*\/ x - 1  + ------------
 |   _______                             3      
 | \/ x - 1                                     
 |                                              
/
∫x−2x−1 dx=C+2(x−1)323−2x−1\int \frac{x - 2}{\sqrt{x - 1}}\, dx = C + \frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{x - 1}
Simplificar
Gráfica
1.002.001.101.201.301.401.501.601.701.801.90-200100
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-4/3
−43- \frac{4}{3} 
=
= 
-4/3
−43- \frac{4}{3} 
-4/3
Respuesta numérica [src] 
-1.33333333280286
-1.33333333280286

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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