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Resolución de integrales/ t^2-1/ (t^2-1)/(t^(3)+t^2)

Integral de (t^2-1)/(t^(3)+t^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |    2       
 |   t  - 1   
 |  ------- dt
 |   3    2   
 |  t  + t    
 |            
/             
0
∫01t2−1t3+t2 dt\int\limits_{0}^{1} \frac{t^{2} - 1}{t^{3} + t^{2}}\, dt 
Integral((t^2 - 1)/(t^3 + t^2), (t, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      t2−1t3+t2=1t−1t2\frac{t^{2} - 1}{t^{3} + t^{2}} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral 1t\frac{1}{t} es log⁡(t)\log{\left(t \right)}.

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1t2) dt=−∫1t2 dt\int \left(- \frac{1}{t^{2}}\right)\, dt = - \int \frac{1}{t^{2}}\, dt

        1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1t2 dt=−1t\int \frac{1}{t^{2}}\, dt = - \frac{1}{t}

        Por lo tanto, el resultado es: 1t\frac{1}{t}

      El resultado es: log⁡(t)+1t\log{\left(t \right)} + \frac{1}{t}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      t2−1t3+t2=t−1t2\frac{t^{2} - 1}{t^{3} + t^{2}} = \frac{t - 1}{t^{2}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      t−1t2=1t−1t2\frac{t - 1}{t^{2}} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. Integral 1t\frac{1}{t} es log⁡(t)\log{\left(t \right)}.

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1t2) dt=−∫1t2 dt\int \left(- \frac{1}{t^{2}}\right)\, dt = - \int \frac{1}{t^{2}}\, dt

        1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1t2 dt=−1t\int \frac{1}{t^{2}}\, dt = - \frac{1}{t}

        Por lo tanto, el resultado es: 1t\frac{1}{t}

      El resultado es: log⁡(t)+1t\log{\left(t \right)} + \frac{1}{t}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      t2−1t3+t2=t2t3+t2−1t3+t2\frac{t^{2} - 1}{t^{3} + t^{2}} = \frac{t^{2}}{t^{3} + t^{2}} - \frac{1}{t^{3} + t^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        t2t3+t2=1t+1\frac{t^{2}}{t^{3} + t^{2}} = \frac{1}{t + 1}

      2. que u=t+1u = t + 1.

        Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(t+1)\log{\left(t + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1t3+t2) dt=−∫1t3+t2 dt\int \left(- \frac{1}{t^{3} + t^{2}}\right)\, dt = - \int \frac{1}{t^{3} + t^{2}}\, dt

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1t3+t2=1t+1−1t+1t2\frac{1}{t^{3} + t^{2}} = \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=t+1u = t + 1.

            Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(t+1)\log{\left(t + 1 \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1t) dt=−∫1t dt\int \left(- \frac{1}{t}\right)\, dt = - \int \frac{1}{t}\, dt

            1. Integral 1t\frac{1}{t} es log⁡(t)\log{\left(t \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(t)- \log{\left(t \right)}

          1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1t2 dt=−1t\int \frac{1}{t^{2}}\, dt = - \frac{1}{t}

          El resultado es: −log⁡(t)+log⁡(t+1)−1t- \log{\left(t \right)} + \log{\left(t + 1 \right)} - \frac{1}{t}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(t)−log⁡(t+1)+1t\log{\left(t \right)} - \log{\left(t + 1 \right)} + \frac{1}{t}

      El resultado es: log⁡(t)+1t\log{\left(t \right)} + \frac{1}{t}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(t)+1t+constant\log{\left(t \right)} + \frac{1}{t}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(t)+1t+constant\log{\left(t \right)} + \frac{1}{t}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                           
 |                            
 |   2                        
 |  t  - 1          1         
 | ------- dt = C + - + log(t)
 |  3    2          t         
 | t  + t                     
 |                            
/
∫t2−1t3+t2 dt=C+log⁡(t)+1t\int \frac{t^{2} - 1}{t^{3} + t^{2}}\, dt = C + \log{\left(t \right)} + \frac{1}{t}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-1.3793236779486e+19
-1.3793236779486e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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