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Resolución de integrales/ (x+y)/ x^2+y/ (x+y)/sqrt(x^2+y^2)

Integral de (x+y)/sqrt(x^2+y^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |     x + y       
 |  ------------ dx
 |     _________   
 |    /  2    2    
 |  \/  x  + y     
 |                 
/                  
0
∫01x+yx2+y2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx 
Integral((x + y)/sqrt(x^2 + y^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    x+yx2+y2=xx2+y2+yx2+y2\frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

  2. Integramos término a término:

    1. que u=x2+y2u = x^{2} + y^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫12u du\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

        Por lo tanto, el resultado es: u\sqrt{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x2+y2\sqrt{x^{2} + y^{2}}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫yx2+y2 dx=y∫1x2+y2 dx\int \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx = y \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx

        PieceweseRule(subfunctions=[(ConstantTimesRule(constant=1/sqrt(y**2), other=1/sqrt(x**2/y**2 + 1), substep=URule(u_var=_u, u_func=x*sqrt(y**(-2)), constant=sqrt(y**2), substep=ConstantTimesRule(constant=sqrt(y**2), other=1/sqrt(_u**2 + 1), substep=InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(_u**2 + 1), symbol=_u), context=sqrt(y**2)/sqrt(_u**2 + 1), symbol=x), context=1/sqrt(x**2/y**2 + 1), symbol=x), context=1/sqrt(x**2 + y**2), symbol=x), y**2 > 0), (ConstantTimesRule(constant=1/sqrt(-y**2), other=1/sqrt(-x**2/y**2 - 1), substep=URule(u_var=_u, u_func=x*sqrt(-1/y**2), constant=sqrt(-y**2), substep=ConstantTimesRule(constant=sqrt(-y**2), other=1/sqrt(_u**2 - 1), substep=InverseHyperbolicRule(func=acosh, context=1/sqrt(_u**2 - 1), symbol=_u), context=sqrt(-y**2)/sqrt(_u**2 - 1), symbol=x), context=1/sqrt(-x**2/y**2 - 1), symbol=x), context=1/sqrt(x**2 + y**2), symbol=x), y**2 < 0)], context=1/sqrt(x**2 + y**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: y({asinh⁡(x1y2)for y2>0acosh⁡(x−1y2)for y2<0)y \left(\begin{cases} \operatorname{asinh}{\left(x \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right)} & \text{for}\: y^{2} > 0 \\\operatorname{acosh}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}} \right)} & \text{for}\: y^{2} < 0 \end{cases}\right)

    El resultado es: y({asinh⁡(x1y2)for y2>0acosh⁡(x−1y2)for y2<0)+x2+y2y \left(\begin{cases} \operatorname{asinh}{\left(x \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right)} & \text{for}\: y^{2} > 0 \\\operatorname{acosh}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}} \right)} & \text{for}\: y^{2} < 0 \end{cases}\right) + \sqrt{x^{2} + y^{2}}

  3. Ahora simplificar:

    {yasinh⁡(x1y2)+x2+y2for y2>0yacosh⁡(x−1y2)+x2+y2for y2<0\begin{cases} y \operatorname{asinh}{\left(x \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right)} + \sqrt{x^{2} + y^{2}} & \text{for}\: y^{2} > 0 \\y \operatorname{acosh}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}} \right)} + \sqrt{x^{2} + y^{2}} & \text{for}\: y^{2} < 0 \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {yasinh⁡(x1y2)+x2+y2for y2>0yacosh⁡(x−1y2)+x2+y2for y2<0+constant\begin{cases} y \operatorname{asinh}{\left(x \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right)} + \sqrt{x^{2} + y^{2}} & \text{for}\: y^{2} > 0 \\y \operatorname{acosh}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}} \right)} + \sqrt{x^{2} + y^{2}} & \text{for}\: y^{2} < 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{yasinh⁡(x1y2)+x2+y2for y2>0yacosh⁡(x−1y2)+x2+y2for y2<0+constant\begin{cases} y \operatorname{asinh}{\left(x \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right)} + \sqrt{x^{2} + y^{2}} & \text{for}\: y^{2} > 0 \\y \operatorname{acosh}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}} \right)} + \sqrt{x^{2} + y^{2}} & \text{for}\: y^{2} < 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                          //     /       ____\             \
                                          ||     |      / 1  |        2    |
  /                                       ||asinh|x*   /  -- |   for y  > 0|
 |                          _________     ||     |    /    2 |             |
 |    x + y                /  2    2      ||     \  \/    y  /             |
 | ------------ dx = C + \/  x  + y   + y*|<                               |
 |    _________                           ||     /       _____\            |
 |   /  2    2                            ||     |      / -1  |       2    |
 | \/  x  + y                             ||acosh|x*   /  --- |  for y  < 0|
 |                                        ||     |    /     2 |            |
/                                         \\     \  \/     y  /            /
∫x+yx2+y2 dx=C+y({asinh⁡(x1y2)for y2>0acosh⁡(x−1y2)for y2<0)+x2+y2\int \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\, dx = C + y \left(\begin{cases} \operatorname{asinh}{\left(x \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right)} & \text{for}\: y^{2} > 0 \\\operatorname{acosh}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{y^{2}}} \right)} & \text{for}\: y^{2} < 0 \end{cases}\right) + \sqrt{x^{2} + y^{2}}
Simplificar
Respuesta [src] 
                        //       /     ____\                                  \
   ________      ____   ||       |    / 1  |                                  |
  /      2      /  2    ||y*asinh|   /  -- |  for And(y > -oo, y < oo, y != 0)|
\/  1 + y   - \/  y   + |<       |  /    2 |                                  |
                        ||       \\/    y  /                                  |
                        ||                                                    |
                        \\       nan                     otherwise            /
y2+1−y2+{yasinh⁡(1y2)for y>−∞∧y<∞∧y≠0NaNotherwise\sqrt{y^{2} + 1} - \sqrt{y^{2}} + \begin{cases} y \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right)} & \text{for}\: y > -\infty \wedge y < \infty \wedge y \neq 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases} 
=
= 
                        //       /     ____\                                  \
   ________      ____   ||       |    / 1  |                                  |
  /      2      /  2    ||y*asinh|   /  -- |  for And(y > -oo, y < oo, y != 0)|
\/  1 + y   - \/  y   + |<       |  /    2 |                                  |
                        ||       \\/    y  /                                  |
                        ||                                                    |
                        \\       nan                     otherwise            /
y2+1−y2+{yasinh⁡(1y2)for y>−∞∧y<∞∧y≠0NaNotherwise\sqrt{y^{2} + 1} - \sqrt{y^{2}} + \begin{cases} y \operatorname{asinh}{\left(\sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \right)} & \text{for}\: y > -\infty \wedge y < \infty \wedge y \neq 0 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases} 
sqrt(1 + y^2) - sqrt(y^2) + Piecewise((y*asinh(sqrt(y^(-2))), (y > -oo)∧(y < oo)∧(Ne(y, 0))), (nan, True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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