Integral de 2ln(x)-ln(2+x) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \log{\left(x \right)}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 x \log{\left(x \right)} - 2 x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \log{\left(x + 2 \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x + 2 \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \log{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x + \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} - 2$

         Método #2

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}$

         3. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{x + 2}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

               1. que $u = x + 2$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

            El resultado es: $x - 2 \log{\left(x + 2 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x - \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} + 2$

   El resultado es: $2 x \log{\left(x \right)} - x - \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} + 2$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x \log{\left(x \right)} - x - \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x \log{\left(x \right)} - x - \left(x + 2\right) \log{\left(x + 2 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$